Appliquons ces principes à quelques exemples
1° Soit l'équation
x‘-- Sx-’-baSx — al = O.
55a tüMPLKMEHT D'ALGÈBItK.
J’essaye d'abord -f- 1 et — i. On a
F{i)=o et F(— i) = — 4o-
+ I est donc racine, et il faut commencer par diviser le premier membre de l’équation par x — i en suivant la règle connue. On trouve pour quotient ( en remarquant que le terme en jr’ a pour coeflicient o dans l’ikpiation proposée ) :
Les limites des racines sont ici 1+4 = 5 et — ( i + /âT)- Parmi les diviseurs du dernier terme ai, on ne doit donc essayer que + 3 et — 3. On a, dans ce cas,
= — lo
et
I) faut donc appliquer la méthode générale. Il vient ;
Le coefficient du premier terme étant i et la dernière division conduisant au quotient ^ i , 3 est racine. De plus, le quotient de F(x)parx— 3 est immédiatement
— 3 ne pouvant être racine de l’équation x’ — ,r — 7 = 0, l’équation proposée n’a pas d’autres racines entières que + 1 et + 3, et l’on peut écrire
, x‘ — 4x* — 4x + ai = (x— i)(.r— 3)(.r’ — X — 7).
La détermination des racines de l'équation donnée se trouve ainsi effectuée. x’ — X — 7 = o donne
* I ± v’io
a° La meilleure manière de disposer lo calcul, quand on a un certain nombre d’essais à faire, est celle-ci ; on écrit sur une mémo ligne horizontale les coefficients de l'éipiation, à partir dp second; dans une colonne verticale, sur la droite, 'les diviseurs qui peuvent être racines; puis, audessous de la première ligne horizontale, une seconde ligne formée des quotients B,, B,, ..., B„,, calculés comme il a été dit (203) et changés do signes.
Si le calcul amène à poser A, ou i si A, = 1 ( en changeant toujours le signe du quotient obtenu ) , au-dessous de A, , le diviseur a est racine. Et la seconde ligne horizontale donne précisément les coefficients de l’équation débarrassée de la racine n (203), c’est-è-dire qu'on n'a qu’à 0|>érer sur celte seconde ligne de la même manière que sur la (iiemièrc, pour e.'isaver un second diviseur h.
COMPLÉMENT d'aLCÉBUE.
Soit l'équation
jc*+ — 30 + y3x'‘ + 1 3ax 4- i ,jo = o.
Les limites des racines sont i 4- v'^S <8 et — 8. On a d'ailleurs F(i) = a88 et F(-i)^io8.
Les diviseurs de i4o compris entre 8 et — 8 sont :
Ceux qui, diminués do i, divisent F(i) = a88 et, en mémo temps, augmentés de 1, divisent F{— i) = io8, c'est-à-dire les seuls qui puissent être racines, sont : a, 5, — a, — 5, — 7. Le calcul offrira donc la disjiosition suivante :
— loi
2 est racine.
2 n’est plus racine.
4" ti3
5 est racine.
— 2 est racine.
— 5 n’est pas racine.
— 7 est racine.
a est racine, a divisant 70, on doit essayer de nouveau ce diviseur ( l'équation pouvant admettre deux racines égales à a). On reconnaît que a n'est racine qu'une seule fois. 5 est racine une seule fois. — a est racine et ne peut l'ôtre qu'une fois, — a ne divisant pas 7. Enfin, — 5 n'est pas racine et — 7 est racine. On peut donc écrire
La détermination des racines de l'équation proposée est complète, puistpie •c’ 4- -r + I = O donne les deux racines imaginaires x — — •
Recherche des racines fractionnaires.
205. On devra toujours commencer par chercher les racines entières de l’équation proposée, pour la simplifier s’il y a lieu.
Il sera facile ensuite de ramener la recherche des racines fractionnaires à celle des racines entières d’une autre équation.
Pour cela, il faut démontrer qu’««c éf/iintmn
(lo/it te premier terme a /tour ruefficient P imité et dont tes autres coefficients sont entiers (203), ne peut avoir aucune rnetne commensuru/’te fractionnaire.
En effet, si la fraction irréductible ^ était racine de cette équation, on
aurait
fT-
— -t ’prTi -I- ... 4 A„ , 4 A„ — o,
554 COMPLÉMENT d’ALGÈBIIE.
d’où en mullipliant par fr" ' et en isolant le premier terme,
fl et b étant supposés premiers entre eus, est une fraction irréductible qui ne peut être égale à un nombre entier. ^ n’est donc pas racine, •
et si l'équation proposée admet des racines commensurables, ces racines sont entières.
200, D’après cela, pour ramener la recherche des racines fractionnaires à celle des racines entières, il suffira de transformer l’équation proposée en une autre équation qui ait l'unité pour coefficient de son premier terme.
Soit l’équation
Formons la transformée en Ix, en posant ^ — ’-f (187). Il viendra
Et l'on voit que, pour pouvoir diviser les deux membres do l’équation par A,, il suffit de prendre /= A, (dans la pratique, on pourra dans certains cas prendre / < A,). La transformée en / devient alors
A chaque racine commensurable de cette équation [qui ne peut admettre que des racines commensurables entières (203)] correspondra une racine fractionnaire de la proposée, déterminée par la relation x=
