CHAPITRE V

RECHERCHE DES RACI^ES COMMUNES A DEUX ÉQUATIONS. THÉORIE DES RACINES ÉGALES.

. Des racines communes à deux équations.

208. En nous reportant à une théorie exposée dans le Livre I (Ch. U), nous savons que le plus grand commun diviseur de deux polynômes est le produit de tous leurs facteurs premiers communs.

Nous avons démontré que le premier membre de toute équation algébrique K(j) = O pouvait se décomposer en facteurs premiers du premier degré de la forme x — n, a représentant une quantité réelle ou imaginairç indépendante de X (177). Do sorte que (sauf un facteur numérique si le coefficient du premier terme n’est pas égal à l’unité) l’on peut écrire

Si l’on a deux équations algébriques F(x) = o et f[x) =l>, chercher les racines communes à ces équations, c’est chercher le produit île tous les facteurs du premier degré de la forme x — a, qui sont communs à leurs premiers membres ; c’est-à-dire, c’est chercher le plus grand commun diviseur de ces premiers membres, en faisant abstraction de tout facteur commun numérique.

Rappelons succinctement la marche à suivre.

Soient F(x) et/(x) les doux polynômes entiers considérés, ordonnés par rapport aux puis.sances décroissantes de x. Divisons ces deux polynômes l'un par l’autre, désignons par y le quotient, par 9(x) le reste-.

556 COM PLÉMCM' I) ALChUllE.

Nous aurons

Soit X — a un facleur commun à F(x)età/(x). Pour x = «, F(x) et /(x) s'annulent, sans que Q puisse prendre une valeur infinie. On a donc en môme temps y(x) = o, ce qui prouve que ^(x) est divisible parx — fl. Réciproquement, si /(x) et ij. (x) admettent le diviseur x — pour .r = fl, on a F(x) =o, c'est-à-dire que F(x) admet ce meme diviseur.

En résumé, F(x) et f[x) d'une part, /(x) et ?(x) d'autre part, ont la môme série de facteurs premiers communs du premier de^^ré : le i>ius grand commun diviseur de F(j') et de f{.t) est donc te meme t/ue celui de /(x ) et de ÿ (x ).

On opérera sur /(x) et comme on vient de le faire sur F(x)

et /(x). Le degré des polynômes considérés ira toujours s'abaissant. On parviendra donc à une division algébrique exacte ou à un reste numérique.

Dans le premier cas, le dernier diviseur employé sera le plus grand commun diviseur cherché. En régalant à zéro et en cherchant les racines de Péipuition formée, on obtiendra toutes tes racines qui sont communes nu-c deu.T équations proposées.

Dans le second cas, il n’y a jjas de plus grand commun diviseur en x : les équations proposées n’ont aucune racine commune.

Dans la pratique, on évitera les coelficionts fractionnaires comme nous l'avons indiqué (Livre 1, Ch. 11), en multipliant par un facteur convenablement choisi tous les termes du dividende considéré. On aura soin aussi de supprimer dans le courant do l'opération tout facteur numérique ipii serait commun aux différents termes de l’un des restes. Comme nous cherchons le plus grand commun diviseur seulement par rapport à x, rien ne sera changé au résultat final qu'on veut trouver.

Enfin, quand on cherche les racines communes à deux équations, il faut avoir soin, en général, de déterminer préalablement leurs racines commensurables et n'opérer que sur les équations simplifiées.