R.remple : Hésoudre Péipiation

(1) X* -4- ix* — 5x’ — 8x -t- 4 = O,

saclumt quelle a lieux racines égales et de signes contraires.

Prenons la transformée en — .r ;

(2) .r* — ax* — 5x’ -t- 8x -4- 4 = O.

Si la proposée admet les racines -i-fl et — «, la transformée admettra les racines — « et +fl, c'est-à-dire que les équations (i) et ( a ) doivent avoir deux racines communes ou un {dus grand commun diviseur du second degré.

On peut, sans rien changer aux conditions du problème ( Àtg. élém., 130). remplacer iL*s équations (1) et (a) par leur somme et leur dilTérencc. On a ainsi à chercher les racines communes aux deux équations plus simples

X* — 5.rM- 1 - O et x' — 4x=^o.

Comme les équations (1) et ( a] ne peuvent admettre la racine rommune

Di.;:-

COMl'LÉMEîiT I»’ALGi.BnE.

X = O, on divisera simplement x* — 5x’+ 4 par x' — 4

On trouve pour plus grand commun diviseur x’ — 4 ; en égalant à zéro ce plus grand commun diviseur, on obtient + a et — 2 pour les racines communes demandées. Pour avoir les autres racines de l’équation (i), il sulTira do l’abaisser au second degré en divisant son premier membre par x’ — 4 •

Théorie des racines égales. <

210. Il est essentiel, lorsqu’on opère sur des équations numériques, de pouvoir reconnaître si l’équation proposée a des racines égales. Et lorsque ce cas a lieu, il faut décomposer l’équation en d’autres de degré moindre, qui n’admettent que des racines inégales.

211 . Pour que a soit une racine multiple de P ordre n de Péquation algébrique F(x) = O, il faut et il suffit que a mis à la place de x annule le polynôme F(x) et ses n — 1 premières dérivées.

On peut, en effet, remplacer identiquement x par a-|-(x — n) et développer alors F[a-l-(x — «)] ou F{x) suivant la règle connue. C’est comme si, développant F(x4-A), on remplaçait ensuite x par et A par (x — a). Il viendra

Onvoitalorsquesioannule F(n), F'(n), F' jusqu’à les termes qui resteront dans le second membre contiendront tous (x — «)"; de sorte que F{x) sera divisible par (x — «)", c’est-à-dire admettra « comme racine multiple de l’ordre n. La condition énoncée est donc suffisante j prouvons qu’elle est nécessaire.

Je dis qu’il est impossible que a soit racine multiple de l’ordre n, si n annule seulement F (x) et ses p premières dérivées, p étant moindre que n — I. Reprenons, dans cette hypothèse, l’égalité précédente, en n’écrivant pas dans le second membre les dérivées qui s’annulent pour x = a. Nous aurons

i.2...{p-yi)