F'<’'^4(rt

558 COMPLÉMENT d'alGLBIVE.

P étant moindre que // — i, + i est moindre que n\ donc, F (x) étant divisible par hypothèse par (x — <■/)", le premier membre de l'égalité s'annulera pour x = a. Il n’en sera pas de même du second membre, dont tous les termes disparaîtront sauf le premier, puisque la dernière dérivée qui s’annule pour x = n est FW(fl). On voit par là que la condition énoncée est à la fois sulTisanle et nécessaire.

Le théorème qu’on vient de démontrer prouve évidemment que, lorsqu'un nombre est racine multiple de tordre n de téquntion F(x) = o, U est racine multiple de tordre n — i par rapport h t équation F' (x) = o, puisqu’il annule F'(x) et ses « — 2 premières dérivées.

D'après cette remarque , si l’on a. en mettant seulement en évidence les racines égales,

F(x) = (x — fl)" (x — è)'( x — c )’...,

on aura aussi

F'(.r)= (x — n)"''(.r — ii)'’''{x — c)’"'....

Et dès lors le polynôme F(x) et sa dérivée F' (x) admettront les facteurs

communs (x — n)* ', (x — ô (x — c)'’“‘ D’ailleurs, ils ne jwur-

ront on admettre d’autres. Car, si le facteur x — l entrait à la fois dans F (x) et F' (x), il correspondrait à une racine double de l’équation

Donc, d’une manière générale, /c plus grand commun diviseur de F (.ri et de sa dérivée F"' { x ) est formé de tous les facteurs premiers du premier degré qui correspondent aux racines multiples de téquation

chaque facteur premier entrant dans le plus grand commun diviseur avec un exposant injérieur d’une unité à tordre de multiplicité de la racine qu'il représente.

Pour reconnaître si une équation F (x)= o a des racines égales, on cherchera le plus grand commun diviseur de F (x) et de F' (x). Si ce plus grand commun diviseur n’existe pas, l’équation n’admettra pas de racines égales. S’il existe , les racines simples de ce plus grand commun diviseur égalé à zéro seront racines doubles de l’équation proposée ; ses racines doubles seront racines triples de cette même équation; etc.

212. Voyons maintenant comment il faut ojtérer pour décomposer alors l’équation donnée en équations de degré moindre, n’admettant plus que des racines inégales.

Pour fixer les idées, nous supposerons que l’équation proposée renferme des racines simples dont le produit sera représenté par X, ; des racines doubles dont le produit sera représenté par XJ ( X, représentant le produit des facteurs qui correspondent aux racines doubles, pris seulement une fois] ; des racines triples dont le produit sera de même représenté par XJ ; enfin, des racines quadruples dont le produit sera représenté par. X J. On aura

F(x) = x,x;xsxî.

Le plus grand commun diviseur D entre F(x) et F'(x) sera (211)

Digilized by Coogle

COMPLEMENT D AL(;i BRE. 339

Le plus grand commun diviseur D, entre D et sa dérivée D' sera

Enfin, le plus grand commun diviseur D, entre D, et sa dérivée D’, sera :

Et n, n'aura plus aucun facteur commun avec sa dérivée.

En divisant r^uliéreiuenl et successivement deux à deux les polynômes précédents, il viendra :

Opérant de môme par rapport aux quotients obtenus, en y joignant la dernière équation D.^= X,, il viendra

La résolution de l’équation proposée est ainsi ramenée à celle des équations plus simples et sans racines égales,

La première fait connaître les racines simples, la seconde donne les racines doubles, etc. -, ^