ij^4- 3ix^ — 155x4-93 x^4- x’ — .5x

On a donc On en déduit

Cherchons le plus grand commun diviseur D, entre D et D'.

x^4- x’ — 5x4- 3 I 3x’4-2x — 5 3.r^4-3x’ — i5x4- 9 | x4-i — 2x’4- 5x 4- x’ — lox — 9 3 x’ — 30x4-27

On trouve

D, n’ayant plus aucun facteur commun avec sa dérivée, nous devons nous arrêter, et nous pourrons poser

Il viendra ensuite

Diqi:\

.wU

Par conséquent,

COMPLÉUBVT d'algèbre.

On arrive donc enfin à

et l’équation proposée admet la racine simple — i, la racine double — 3, la racine triple 1 •

214. 6cOT«n//«r.— Lorsque les coefficients d’une équation sontcommensurables, les polynômes X, , X, , X, , X, , etc., ne renferment évidemment que des coefficients commensurables. Donc, si l'une des racines de l’équation proposée est une racine multiple de l’ordre n, et si toutes les autres racines appartiennent à des ordres düTérents, la racine multiple considérée sera commonsurablc, puisqu’elle sera donnée par une équation du premier degré à coefficients commensurables.

Donc, pour qu'une mcine multiple soit incommensurable, il jaut qt^elle ne soit pas seule de son espèce.

D’après cela, toute équation à coefficients commensurables [jusqu’au cinquième degré inclusivement^ qui n a pas de racines commensurables, n’a pas non plus de racines miMftles (sauf un seul cas).

En effet, supposons qu'aucun dès quotients X,, X,, X,, etc., ne soit du premier degré. Le cas le plus simple qui puisse alors se présenter est celui où l’on a F (x) ^X, XJ , X, et X, étant du second degré. Mais, dans cette hypothèse, F (x) est du sixième degré. Nous laissons do côté le cas où l’on a F (x) = XJ. L’équation est alors du quatrième degré, elle peut avoir des racines multiples incommonstirabics, mais son premier membre est un carré parfait.

Dans la pratique, comme nous l’avons déjà dit, il faudra toujours commencer par la recherche des racines commensurables, et n’appliquer la théorie des racines égales qu’au delà du cinquième degré.