DEGRÉ

Théorème de Relie.

21S. Le théorème de Rolle consiste dans la remarque suivante :

Deux racines consécutives île réquation F (x) = o comprennent n/écessnirement au moins une racine réelle de P équation F'{x) = o.

Soient a et é deux racines consécutives do l’équation F (x) = o. Faisons varier x d’une manière continue An a k b. F(x) s’apnulant pour X = a et pour X — b, ne change pas de signe dans l’intervalle de ces deux racines, puisqu’elles sont consécutives; mais, partant de zéro |K>ur revenir à zéro, croit d’abord en valeur absolue pour décroitro; ensuite. F (x) passe donc par un maximum absolu, c’est-à-dire que là' dérivée F' (x) passe elle-même par zéro en changeant do signe. Ce fait peut se ' produire plusieurs fois (*), et s'il s’agit d'une équation algébrique, il se

(*) F (x) pouvant offrir plusieurs maximums et minimums absolus cl miccossifs, dans rintcrvalle des deux racines a et h,

562 COMPLÉMENT -o'ALckBnE.

produit alors un nombre impair de fois. // en résulte immédUUement que lu réciproque du théorème de RoUe n'est /ms t'ruie.

Remarques. — 1. Si F' (x) s’annule pour x = a ou pour x = ou pour ces deux valeurs à la fois, le théorème sera encore applicable. Car, (>ar suite de la marche de F (x) , F' (x) présentera toujours des signes contraires pour une valeur do x un peu plus grande que a et pour une valeur de x un peu plus petite que t>\ de sorte que P'(x) = o aura encore une racine entre a et b.

II. Le théorème de Rolle s'applique aux équations transcendantes aussi bien qu’aux équations algébriques : la seule condition, c’est que la dérivée F' (x) reste continue depuis x = a jusqu’à x= b.

216. Lorsque réqiuUion F (x) = o a toutes scs racines rt-eiles, il en est de même de Féquation F'{x) = o, et deux racines consécutives de l’équation F'(x)=o en comprennent une et une seule de C équation F(x) = o.

Considérons une équation de degré m dont les m racines réelles, rangées par ordre do grandeur froissante, soient

Il y a /n racines et, par suite, m — i intervalles. Entre chaque groupe de deux racines, il tombe une racine de l’équation dérivée (21S), mais une seule, sans quoi cotte équation aurait plus de m — i racines. Les m — ■ racines de l’éiiuation F' (x) = o sont donc réelles et, si on les représente par la suite supposée croissante

on pourra écrire ainsi les racines de F(x) = o et de F' (x) = o, en les supposant toujours rangées par ordre de grandeur ; ik

Les racines extrêmes a et / peuvent être regardées comme des limites inférieure et supérieure des racines de F'(x) = o;et, en écrivant adroite et à gauche de cette suite, les limites — L' et -)-L des racines de F (x)-=o, on achèvera la séparation des racines de l’équation proposée, si l’on a pu résoudre préalablement l’équation F' (x) = o (c’est ce qu’on pourra faire directement pour le troisième et le quatrième degré).

Caractères auxquels on reconnaît la nature des racines de l’équation du troisième degré.

217. On peut toujours priver l’équation du troisième degré de son second terme, sans changer la nature de ses racines, et la considérer sous la forme

x’ + px q o.

Cherchons la relation qui doit exister entre les coefficients, pour que cette équation ait ses trois racines réelles.

L;i dérivée 3x’-|-// = o devra avoir ses deux racines réelles (ÜG). Le c rÿicient p devra donc d’abord être négatif. Cette condition étant sup-

COMPLÉMENT d’algèbre.

posée remplie, si a' et b' sont les racines de la dérivée (en les prenant toujours par ordre de grandeur croissante), on aura

Remarquons maintenant que si a, b, c, désignent les trois racines réelles de l'équation F (x ) = +/jx -|-^ = o, au delà de la première racine a, le polynôme F (x) devra être positif; car pour x = — oo , il est négatif, et il le reste jusqu’à ce qu’on arrive à substituer n à la place de x.Dea à h, F(x) restant positif et a' tombant entre a cl b (216), il faut qu'^ ait

F(fl')>o, ou y/ I +,j,>o.

ce qui revient à

Au delà de ô, F (x) devient négatif et ne change de signe qu’en passant par o pour x = c. Au delà , il n’y a plus de racine , et la fonction 'reste positive jusqu'à oo pour x = -t- oo . h' tombant entre b et r, on doit avoir

F(fr')<o, ou

ce qui revient à

Les inégalités (i) et (a) ne dilTèrent que par le signe du second membre. Si on les élève an carré, elles conduiront à un résultat identique.

Si q est positif, l’inégalité (i) est satisfaite d’elle-même, et l’on peut élever l’in^lité (a) au carré, puisque p est négatif.

Si q est négatif, l’inégalité (a) est satisfaite d’elle-mêmo, et on peut élever l’in^alité (i) au carré, puisqu’elle a lieu entre quantités /tositiirs. Dans l’un et l’autre cas, il vient donc

ce qu’on peut encore écrire.

D’ailleurs, cette dernière condition ne peut être remplie que si p est négatif. Ainsi, pour que t équation .r'+p.c-\-qx o ait ses trois racines nUi/es, ta seule condition est celle-ci :

.Si Pon a

Péquation n’a qu’une seule racine réelle, de signe contraire à son dernier terme.

Si Port a

COMPL£HE^T d’alGÈBBE.

F équation a deux racines égales comme noos l’avons vu ( 184), et la racine 6' de P (x) = O se confond avec la racine double de F(x) = o (si q est positif) (*). ’

L’équation

n’a qu’une racine réelle positive, parce que le coefficient du second terme est positif.

L’équation

n’a qu’une racine réelle négative, parce que la condition

est satisfaite.

L'équation

a ses trois racines réelles, parce que la condition

est satisfaite : deux des trois racines seront positives (201).

Résolution algébrique de l'équation du troisième degré.