Reprenons l’équation générale (i) sd-^-px + q

Posons

Il viendra, en substituant,

f+ifz+Zyz*+^->rp(j-+z) + q = o ou

J*-¥^ + {j+z)\Zyz->rp) + q = o.

Les inconnues auxiliaires / et z n’étant assujetties qu’à la condition > 4- 3 =r X, on peut poser

(a) • Zyz->rp = o.

L’équation considérée devient alors

Mais l’équation (a) et l’équation (3) font alors connaître le produit

(*) Si î est négatif, c’est la racine a' de F'(x)=ro qui se confond avec la racine double de F(r)ï=o.

COMPLÉKENT D ALGÈBRE.

et la somme

et s’ sont donc racines de l'équation

t' + qt

[qu’on nomme la réduite de l’équation (1)]. On a donc

Par conséquent ,

Il est essentiel de remarquer que, puisqu’on doit avoir

le produit des deux radicaux cubiques dont la somme constitue la valeur de X, doit être réel et égal ^

Ceci posé, nous savons qu’un radical cubique a trois valeurs et que, lorsqu’on connaît l’une d’elles, il suffit, pour les obtenir toutes, de la multiplier par les racines cubiques de l’unité (83).

Désignons par A et B deux valeurs des radicaux cubiques considérés, satisfaisant aux conditions imposées. Les valeurs de j et de z seront [en désignant para l’une des racines cubiques imaginaires de l’unité (84) J

Aa, Ba, ,

Aa’, Ba’. ■’

Le produit AB étant réel , les seules combinaisons qui puissent donner un produit réel sont

A. B, Aa.Ba’, A'a’.Ba.

Et, par suite, les seules valeurs admissibles pour x sont les trois valeurs

X = Aa -t- Ba’,

Lorsque 4a quantité ^ 4- ^ est < o, les radicaux cubiques de la formule ( 4 ) n’ont plus de valeurs réelles. Cependant, c’est précisément dans ce cas que les trois racines de la proposée sont réelles (217). Ce cas s’appelle le cas Irréductible de l’équation du troisième degré.

Pour débarrasser la formule des imaginaires qu’elle renferme, il faut alors recourir à des séries composées d'un nombre infini de termes ; d(> sorte qu’au point de vue du calcul numérique, les expressions générales indiquées ne sont plus d’aucune utilité.

(OMI’LÉMEKT d'alGÉBRE.

Résolution trigonométrique du cas irréductible.