Reprenons la formule

Lorsqu’on a ^ l’équation x^ + px-{-q = o n’admet qu’une

seule racine réelle, de signe contraire à son dernier terme.

Dans ce cas, chaque radical cubique est susceptible d’une détermination réelle. Soient A et B ces deux déterminations. Nous aurons (218) pour les trois valeurs de x

Mais (at) par suite,

x,= A-l-B, x, = Aa + Ba’, Xj= Aa’-(- Ba.

a = et a’=

J", =sr A D , X, h * J

On pourrait avoir recours aux transformations trigonométriques pour calculer ces valeurs ; mais il est bien préférable et bien plus court d’extraire directement les racines à l’aide des tables de logarithmes. Nous en donnerons un exemple.

222. Application. — 'Calculer les dimensions d'un cyli/tdre inscrit dans une sphère, de manière que sa surface convexe soit équivalente à la somme des deux calottes que ses bases déterminent.

Désignons par R le rayon de la sphère, par x le rayon do la base du cylindre, par 7 sa demi-hauteur ou la distance de sa base au centre de la sphère.

l.a condition du problème est exprimée par l’équation 4rzxr= 4;rR(R-^ i),

r esl-à-dire

XV = R (R — y-).

f)n a de plus

Il viendra donc j»r division R(R-7)

SjO COMPLÉMEMT d’alCÈBKE.

Pour plus de simplicité, prenons le rayon de la sphère pour unité. L’équation à résoudre sera

Chassons le second terme en posant y = z

nous aurons

Pour faire disparaître les dénominateurs de cette équation, posons s = 5» et nous trouverons finalement

ii‘ + 0« — 34 = O.

.î" = Z — J devient y = — ^ — , et l’on voit qu’il suffisait de poser immédiatement cette relation jxiur chasser à la fois le second terme de l’équation (i) et éviter les dénominateurs.

Le coefficient du second terme de l’équation on « étant positif, cette équation n’admet qu’une racine réelle qui est positive. Nous nous bornerons donc à calculer cette racine.

On aura

« = \/i7 -1- + V 17 — v'âgÿ.

Les tables de logarithmes ordinaires dounent • '

|iar suite, *

En opérant toujours par logarithmes, on trouve

c'est-à-dire Il en résulte

« = >,247018 — o,6i5{)5a, « = 2,63io66.

Connaissant les valeurs réelles des deux radicaux cubiques, il serait facile, si la question l'exigeait, de calculer les racines imaginaires de l’équation en « et, jiar suite, les valeurs imaginaires de r.

COMPLÉMENT d’ ALGÈBRE. 57 1