Soit la fraction rationnelle

F(x) étant dmdegré m, /(x) est au plus du degré m — i. La fraction

f est irréductible. Supposons que les racines de l’équation F(x) = o, F('A') . *

toutes inégales, soient a, b,c,..., h, X, l. Je dis qu’on pourra mettre l’expression (i) sous la forme

/(x) ABC F(x) X — rt*^x — b X — r

les numérateurs A, B, C, . . . , K, L étant des quantités constantes.

De l’égalité supposée, on déduit

Cette équation doit être identique, c’est-à-dire satisfaite /x>ur toutes les lutteurs de x. Remplaçons x par a. Comme on a F ( a ) = o, puisque « est racine de l'équation F(x) = o, il viendra

Tous les termes du second membre disparaissent, sauf le premier où la fraction se présente sous la forme -• D’après une règle connue

(1S4), la véritable valeur de cptte fraction pour x = o est — On aura donc

/(rt) = AF'(n), d'où

573 COMPLÉMENT d’aLCÉBEE.

Un raisonnement analogue conduit aux valeurs

Les valeurs obtenues sont évidemment 1^ seules qui puissent convenir au développement supposé. De plus, /(x) étant du degré m — i, l’équation admise se trouve par là vérifiée pour m valeurs (puisque F(x) = o est du degré m ol à m racines). Cette Condition entraîne l’identité conaplète de /(x) et du second membre de la relation (3) (178, II), c’està-dire prouve l’exactitude de la relation (a).

Pour calculer les numérateurs A, B, C, . . . , il suffira de former l’ejcpression

et d'y remplacer successivement x par toutes les racines de F(x) = o.

325. Les raisonnements précédents conviennent également au cas des racines imaginaires inégales. On peut seulement éviter les imaginaires dans le développement du second membre, en remarquant qu’à une racine imaginaire a -H bi correspond toujours une racine imaginaire conjuguée a — bi. Soient A et B les numérateurs des fractions simples qui correspondent à ces deux racines. On aura

. K f{a + bi) a f{a — bi)

‘^~¥'(a + bi)’ "~F'(a-é/)‘

A et B seront donc des imaginaires réductibles à la forme générale (Livre I, Chap. vi), et qui ne différeront que par le signe de i, de sorte qu’on peut' poser

A = P-)-Qi et B = P — Qi.

Les deux fractions

X — a — bi X — a + bi ^

donneront donc en somme

P-t-Qi ^ P — Qi aP(x — fl) — aQé

X — a — bi X — a + Iti (x — «)’-f-é’

On voit donc qu’à un couple de racines imaginaires conjuguées du premier ordre, correspond une fraction réelle de la forme