Exemples
1° Soit
F(x) = o donne ici d’où les racines
Mx-I-N (x — ay-\-b'
La dérivée de F (x) est
F'( r) =r ax — I .
COMPLÉMEDT d’aLGI:BBE.
Pour avoir les numérateurs A et B, il faudra remplacer successivement X par X, et par x, dans l’expression
f[x) a— 4x F'(x) ax-T
Il vient
A=— a,B=— a, d’où
a® Soit l’expression
F(x) = O donne pour racines
■ On a
O, x=— a, x = fl.
F'(x) = a’ — X* — ax’ = o’— Sx*.
Pour avoir les trois numérateurs A, B, C, il suffira donc de remplacer xparo,— aet+fl, dans l’expression • Il viendra donc
d’où
x(a* — X*) a’x aa’(x+a) aa*{x — a)
3° Soit encore l’expression
F(x) = O donne une racine réelle — i et deux racines imaginaires ± i. 'Nous pourrons donc écrire (22S)
x’— x+i A Bx + C
Le plus simple, pour déterminer les coefficients A, B, C, est aloi-s d’employer la Méthode des coefficients indéterminés. Nous avons démontré (221-) C identité des deux membres de la relation posée. Par conséquent , si l’on chasse les dénominateurs, les mémos puissances de x devront avoir, dans les doux membres, les mômes coefficients, sans quoi l’équation no serait pas |satisfaite pour tou^ les valeurs possibles de x. Il viendra
x’ — x-t-i = A(x’+i)-|-(Bx-4-C) (x-t-i).
En faisant d’abord
X = — I , on trouvera A = - :
puis , en égalant les coefficients de x‘ et de x dans les deux memhrès, on
COMPLéMEKT d’^LGLbhB.
trouvera
Donc
~ A B I “ I = B C , d où B — C — —
rr+i)(x^ + i) a(x4-i) 2(x'+i)
Cas des racines égales.
227. Lorsque F (x) = o donne des racines multiples, la décomposition indiquée précédemment (224) n’est plus possible. Car a étant une racine
multiple (2H), l’expression A = donne pour A une valeur infinie.
Admettons que a soit une racine multiple de l’ordre n ( réelle ou imaginaire). On pourra poser
F(x) étant du degré m, F,(.r) sera du degré m~-n. Remplaçons, dans /(x) et dans F, (x), x par «-f-(x — n). Il viendra, en considérant (x — a) comme un accroissement,
/(x)=/(fl)4-/'(a)(x — rt)-|--Ç^'(x-a)*-f-... ,
F,(x) = F,(a)-l-P.(fl)(x-a) + ?^>(x-<,)’-t-....
Nous pourrons diviser /(x)par F, (x) en regardant (x— a) comme la quantité ordonnatrice. Le premier terme du quotient sera constant et égal à
désignerons par A,. Le reste correspondant à ce premier
terme ne renfermera plus de terme constant. On poursuivra la division jusqu’à ce qu'on arrive au quotient au terme de degré n — i par rapport à (x— a). Tous les termes du reste contiendront alors(x— a)* en facteur. On pourra donc écrire l’identité suivante qui résulte de toute division
/(x)=[^A,(x-a)-t-A,(x-a)»-i-...A..,(x-a)'-'] F,{x)-(-(x-aj"/(.r). •
Le dividende /(x) est du degré /a — i, le diviseur F, (.r) du degréj/»—//, et le quotient du degré a — i .
Le produit du diviseur par le quotient sera donc du degré »? — i. 11 en résulte que le reste sera au plus du degré »? — i . Dés lors le polynôme / (x) est au plus du degré ?» — a — i. D’ailleurs, les polynômes/, (x) et F, (x) sont premiers entre eux; car s’ils admettaient un facteur commun,
la fraction ne serait plus irréductible. ■« .
Ceci posé, divisons par F(.r)ou par (x— a)"F, (x) les deux membres de l’égalité précédente. 11 viendra
F(x) (x-?/)*~^(x-al-' (r-a)’-’“^'"x-a‘^ F,(x)
Ainsi, la racine multiple de l'ordre » repré.senlée jwr le facteur (x—/?l“
COMPLÉMENT d’aLGÈBEE.
lionne lieu à n fraclions simples dont les dénominateurs sont (x — a)*, (x— jusqu’àx — n, etdontles numérateurs sont les coeflicients du quotient trouvé en divisant /(x) par F, (x), comme on l’a indiqué.
Il reste à décomposer, en suivant la même marche, une fraction irré-
iluctible*^ ;■ ■') dont le dénominateur est du degré m — n et le numéra-
leur du degré tn — n — i.
Si F, (x) = O renferme encore une racine multiple d’ordre p, et si h désigne celte racine, on aura
fM)
F.(x)-(x-Al'
r-by '
f / JT )
représentant une fraction irréductible dont le dénominateur sera
de degré m~-n—p,e\. le numérateur de degré m — u—p — i. Supposons que F, (x) = o ne renferme plus que des racines simples /, on pourra poser ( 244 )
flx) ‘
et la décomposition de ^ ' se trouvera terminée,
228. Il faut prouver maintenant que cette décomposition n’est possible que d’une seule manière. Supposons deux décompositions différentes possibles. Les deux formes obtenues devront donner des résultats égaux, quelle que soit la valeur attribuée à x. On aura donc, par exemple.
{x-bY
(x-hf-'
(x-ér-+-
Sup()OSons n différent de n' et plus grand. Si l’on multiplie les deux ' membres de l'égalité par (x — o)", et si l’on fait ensuite x = a, le premier membre se réduit évidemment à A,; le second s’annule, à moins qu’un des dénominateurs ne soit égal à (x — n)’. Il faut donc que ( r — n)*' soit égalé (x— a)", c’est-à-dire qu’on ait a' = «. On trouve alors A, =A',.
. On pourra supprimer les deux fractions égales
, membres et, en répétant le môme raisonnement pour les restes correspondants, on prouvera que les fractions simples qui composent les deux développements sont'identiques.
229. U nous reste, pour achever le sujet considéré, à examiner spécialement le cas des racines imaginaires multiples.
Si F (x) — o admet une racine imaginaire a -f- bi d’ordre a, il admettra aussi une racine imaginaire conjuguée a— é/ d’ordre a (ou le diviseur ‘réel du second degré {.r — a)’-|- 6’, pris a fois comme facteur). Les deux racines conjuguées, si elles étaient simples, conduiraient dans le dovt*lo(>-
5^6 COMPLiiMENT d'aLGÈBRE.
pement ( 23K) à une fraction de la forme
Mx + N (x — af+b^
Je dis qu’étant de l’ordre n, elles donneront dans le développement n ’ fractions de la forme
+ + ”■ '^(x-ay+b"
de sorte que le développement ne sera embarrassé d'aucune expression imaginaire.
Posons
Cherchons à déterminer les constantes M, et N, par la condition que le polynôme
soit divisible par (x — On pourra alors, en effet, poser /(x)- (M.X+N.) . F, (x) = [(x — (x),
d’où
Pour exprimer la condition de divisibilité indiquée, il suffît d'écrire que le polynôme
s'annule pour x= n + bi et pour x=z a — bi. Supposons que, pour ces deux valeurs, /(x) devienne A + Bi et A— Bi; que. do même, F,(x) devienne alors C + Di et C — Di. Nous aurons les doux équations
(A+B/) - [M.(a4-ô<) + N.] [C+Di] = o,
Par suite, en égalant séparément à zéro la partie réelle et le coeffîricnl de i, il viendra (les deux parties réelles étant identiques et les coefficients de < ne diflérant que par le signe dans les deux (Quations ) :
(iD-aC)M,-CN.= -A,
(ÔC + aD)M,-4-DN,= B.
Ces équations sont du premier degré en M, et en N,. Le dénominateur commun des valeurs des deux inconnues b (C’ + D’) ne peut pas être nul: car si b était nul, les racines imaginaires n’existeraient pas; et si la somme C’ + D’ était nulle, le polynôme F, (x) devenante pour.r=a±ô/, admettrait encore le diviseur (x — «)’-!- ô’. Les équations précédentes donneront donc toujours des valeurs réelles, finies et déterminées, pour les inconnues M, et N,.
La possibilité et l’exactitude de la transformation ( i ) étant établie, on pourra de môme poser l'expression
f(x-«)>-4-ô’J" -.F.lx) + •'^[(x-«)‘-f-A’]-’.F,(x)’
CUMFI.ÉMEMT u'ALCtBkE.
cl continiipr ainsi^ jiigi|u’à re.qu'un ait épuisé tous les fucteurs
Dans la pratique, il sera préférable do calculer les coefTicicnLs M„. N,, M, i N, , etc., en ayant recours à la MMuMè des rorffteirnls imlrlrrimin’-s.
