F.n résumé , étant donnée l’expression

fi-r) '

si, ayant écaril aux racines réelles et aux racines imaginaires de F(x)=:o. on a

on. pourra toujours poser :

X — tt

{x—h'f (x—bf-'

, AI,x 4- N,

P.x-t-Q. ^ *V --g+tv -,

23 1 . Exemples :

i“ Soit • . . .

F(x) (.r— Jj^(x4-i)x'

(In aura (227)

Kn ordonnant par rapport aux puissances croissantes de x, on a ici :

c'est-à-dire

/ri4-(x^i)]= /(i)4-/'(.)(

i)(x-i)4-’^*^('iC£r4

tximme il s’agit d’une racine triple, le quotient de / (x) j>ar F, (x)^devra être du second degré eq (x — i ), et il sera inutile dans la division d^écrire les termes qui contionient (x — ■) à une puissance supérieure à la se- ' rondo. Pour plus de rapidité, nous remplacerons dans le calcul (x — i)

trt

j8 COMPLÉMENT d'aLOKBRE.

par X. On Ironve ,

/(i) = 4, /'(<)= 4, -Çÿ-S.

Par suili-, il faudra eiïectuer celle division :

-CX-aX’

— aX4-3X’...

le qiiolienl élanl de la forme A, + A, X A, X’, on aura en identiBanl A, = a, A, t= — I , A, = 3.

Pour délerminer B el C, nous nous servirons de l’erjiression (22i),

c’esl-à-dire

En y faisanl successivement x — — i et r — o, nous trouverons

Par conséquent

Nota. S’il y avait eu une autre racine multiple, on aurait répété un calcul analogue, car on peut toujours supposer que la décomposition commence au facteur qu'on est amené à considérer. a° Soit ^

F{x) x(x4-i)(j:’4-ij"'

On a dans ce cas deux racines réelles simples el deux racines imaginaires conjuguées doubles. On |K)sera donc.

.c(.r 4- ij(x’ 4- il’ X .r-4-i (x’4-i)’ .r’4- i

„ IJour déterminer les six inconnues A, B, M, , N,, M, , N, . nous aurons recours à la Méthode des coefficients indéterminés.

Si nous chassons les dénominateurs, nous aurons identiquement

I t= A(.r -4- i)(.r’4- 1)’4- B.j (x’4- i)’4 (^IJx 4- N,)x(.r 4- t)

COMPLÉMEIIT d'algèbre. 579

Si l’on suppose successivement .r = o et x = — i , il vient A = I et B = —

Égalons maintenant les coefficients des quatre premières puissances de xdans les deux membres (en supposant qu’on ordonne suivant les puissances décroissantes de r), puisqu’il ne reste plus que quatre inconnues. Nous trouverons

a A + aB -f- M, 4- .M, 4- N, = O, a A -I- N, M, 4- M, -f- N, = o.

On en déduit immédiatement

■ On arrive donc enfin à

Retour aux fonctions primitiTes.

232. Le but principal qu’on se propose en décomposant les fractions rationnelles, c'est de remonter à leurs fonctions primitives (Livre II, Chap. IV ). '

Nous ne pouvons que donner quelques exemples. *

i" Soit l’expression — — —■ Nous avons trouvé (226, i”)

La fonction primitive est évidemment

alog(x — a) alog(.c4- 1] ^

loge loge

(”est ce qu’on aurait d’ailleurs trouvé directement, dans ce cas simple.

en mettant l’expression pitoposée sous la forme ^ i et en re-

marquant que ax — i représente la dérivée du dénominateur r' t- x ~ 2. a“ Soit l’expression

(.r — II' {X — 1)* (.r — k)’ X — I

Ij fonction primitive” sera ( 1S9, 161 ) :

^ " . ' , ’llosi-r - i| ..

— a(x — 1)’ — (r — i)' loge

r’cst-à-dirr

COMPLÉMENT n ALCEBEE.

' I . 3log(j - I)

(.r — i)’ .r — i loge

3° Soit enfin l’exprossion (226, S")

(.r-t- I) “ '/(jr-l- i) :»(x= + i) ■ ■ •

On peut mettre la seconde fraction sons la forme suivante, en laissant de edté le facteur ~ :

Il fai^t alors chercher la fonction primitive de l'expression

(In trouve facilement (161 )

3log(x-|-i| I log ( .jr 4- 1 ) I . , ,,

-- — i— -■| '--arcungx + f..

2 loge 4 loge 2,

' D'une manière générale, pour avoir la fonction primitive d'une fraction simple correspondant à d«ux racines imaginaires conjuguées, c’est-à-dire. t r Mx -p N

de 1 expression -, on 1 écrit comme il suit :

M 2 ( X — a) Mo -P N

et l'on a immédiatement pour fonction primitive M .

Aloge"-^

log f ( X 4- /<’ ] 4- arc tang "t" •

>- QUESTIONS PROPOSÊiES.

r Résoudre l’équation du troisième degré, sachant que l'une des racines est égale à la somme des deux autres, et trouver la relation qui existe alors entre les coefficients do l'équation.

2" Résoudre l'équation du troisième degré, connaissant la somme ou'Ie produit de deux racines, et trouver la relation qui existe alors entre les coefficients de l'équation. ,

3° Déterminer la relation qui existe entre les coefficients do l’équation du quatrième degré, lorsque scs racines forment une projiorlion dont la raison est donnée, et trouver les pxpressions des racines.

4" Déterminer la relation qui existe ei»re les coefficients de l'équation

COMPLÉMENT D ALGLBnE.

du troisième degré, lorsqu’une des raeiucs est moyenne, proportionnelle entre les deux autres.

5° Résoudre l’équation du quatrième degré, connaissant le produit de deux racines.

6“ Cltercher un nombre de trois cliiffres, sachant que le produit des trois chiffres est 54, que le chiffre du milieu est le sixième de la somme des deux autres, et qu'en soustrayant 5g4 du nombre demandé, on obtient les mêmes chiffres en ordre inverse. — ( gaS. )

7° Quelle est la base du système de numération dans lequel le nombre 538 est exprimé par les caractères 4ia3? — (5.)

= I a5 { l’une des raci nés

est égale à a).

9“ Résoudre l'équation

f ' 6x* — igj;* -|-a8x’ — i8x-t- 4 = O-

^Deux des racines sont ^

io*{ Partager un triangle par une droite parallèle è sa base, de manière que le triangle tournant autour de cette base, le volume engendré par le trapèze ainsi déterminé soit la moitié du volume total.— (La distance de Ta parallèle à la base est la moitié de la hauteur du triangle.)

* ti“ Montrer qu’on peut trouver les racines commensu râbles d’une

équation, sans les ramener à être entières. Si ^ est une des racines réduite

à ^ plus simple expression, le numérateur a est un diviseur du dernier terme, le dénominateur 5 est un diviseur du coefficient du premier terinq.

prouver qu’on peut vérifier que ? est racine, par des essais ’-ïffarogiiiô^

ceux qu'on a appliqués aux racines entières.

la® Trouver les valeurs entières de -r et de .> qui vérifen^ les deu «mations ‘ '

468, fà

■ 3® Appliquer lu théorie des racines égales aux équalioiil ^ivSntes?

* — lax' + 53x* — gao;* — gx‘ -4- aiaor' — i53x’ — io8x-t- io8 — o, , r'(x— i)(x — a)’(x+ i)M-r — 3)’J; «

— Gx’ 4-^-l-î)x’-p ia.x-(- 4 “ O, [(x — a)’ (x-K t)*J.

I i4® Déterminer les dimensions d'un cylindre ou d’un cône circulaire droit dont on donne le volQme et la surface totale.

i5® Déterminer les arêtes d'un.parallélipipède rectangle, Counuissatil son volume, sa surface et sa diafimiale.' • . '

i6® Déterminer les côtés d’un triangle rectangle, connaissant lasomiqe dos côtés de l'angle droit, et le voldhie'.^eqgendré par le triangle en tournant autour de son hypoténuse. ■

f>8a COMPLÉMENT d'algkbre. *

17“ Résoudre l'équation r* — ix — ^ — <>.

(x, = ï,4go8üa, X.— — 1,834^45, .«j = — o,6566i(iC.)

18° Résoudre l'équation .r* — 4,1- 4- 1 = o.

(X| c= i,8(k>8o7, .r, = — a, 114907, x,= o,a54ioi ).

19° Décomposer en fractions simples les expressions suivantes :

ax'-(-x’— 8.r — 4 \ 5 ao 4 /

•r* — 1 1 X* — aox' + 11 .H — i3x-t- 4

8.r^-4- 46-*’‘ 4- 107 ■r’4- i43x’+ ii4x -4-Jo (x-4-i)‘(x + 7)

(A, = 5, A,rr O, A,-- 3, A, O, A.=^ 1, B= 7.)

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COMPLÉMENT D^LGCBRE.