AV

Pour le former, il faut, par définition, retrancher ehmpte nombre de ^ relui qid le suit, et écrire le résultat obtenu à droite du nombre soustrait. ‘ 11 en résulte que, réciproquement, chaque nombre du tabletm est égal à

t-elui qui le précède verticalement, augmenté du nombre placé h la droite de ce précédent.

D'après cela, supposons qu’on veuille former le tableau des différences des sept nombres

lo, i4, ai, 33, Ji, 5-, C3;

Si l’on donne, au contraire, le nombre m et ses six premières différences 4- 3, a, — 1 1 . 3a, — 83 , on opérera par voie d’addition , en disant ; — 83-+-3a — — 5i , 3a — ii=ai. — ii-(-a = — g. a-f-3 = 5. 3-f-4=7, 4-3- >0— i4, et l’on reformera ainsi la seconde ligne

horizontale du tableau. Pour reformer la troisième ligne liorizontflle, on opérera de la même manière sur la seconde ligne.

On aura : — 5i-|- ai 3o, al — g r- la, — g -Jr 5 ^ - 4. 5-i- 7 la, 7-fi4- ai; etc. ,

COMHLÉMEM' d'aLGEURR.

Formules B3rmbolique8.

235. Supposons (Pabordiiii’ondoiiiie les m 4- 1 nombres «,i "i, “j. •••>“„ (c’est-à-dire la première colonne verticale du tableau indiqué au n“23l), et qu’on demande de trouver Pexprrssion algébrique du terme généra! S" U, (c’est-à-dire un terme quelconque de la première colonne horizontale du même tableau).

On a, par définition, • '

A«, = — iq, A«-, = /q — /q

A’/q = Su, -‘Su,^ U, — tu, 4- A’h, = Aiq — A(q = /q — aiq-f-^/

A’ u, = S’il, — A’ïq = /q — '3 <q -i- 3 «, — ii,

Dans les seconds membres des égalités obtenues, l'indice de « décroît d’une unité d’un terme au suivant. Ée plus, on reconnaît facilement dans ces seconds membres les coeflicients du développement de la puissance d’un binôme (x — a). Pour A'/q, on a les coeflicients d’un carré; pour Abq, les coefficients d’un cube. Il faut prouver que la loi est générale.

.Admettons donc qu’elle soit vraie pour Sfu,, et prouvons qu’elle l’est encore pour Ac+'/q.

D’après l’hypothèse, on a

( ^ ", - C' 4- c; /q, - . . . rp c;;, u^, ± c; .. . . . ±«, .

' "Cette relation étant pour les p-\-i nombres quelconques

/q, f/|,(q, ...,rq, sera également vraie pour la suite u,, u,, (q,...,/q,,. On aura donc« en forint tous les indices d’une unité :

(a) A'«, = /q^, Qrq4-C0q., - ... ± Cjiq, ±«, .

Mais, par définition,

Sf^'u^-yii, — S>’ii,.

Kn retranchant membre à membre les égalités (i) et (a), il viendra don(

s*’* ’ Il — Il —

Nous savons d’ailleurs ( Cl ) qu'on a d'une maniéré générale

On i»eut donc écrire

- cr ' ", + p-r 'V, - . . . ± cr ‘ . . . 4^

Ainsi, la loi existant pour S‘‘u,, existe encore nécessairement |K)ur Ar^'fq; ayant été établie directement pour A4q et A’«,, elle est vraie j>our A'(q, S’il,, etc.

On peut écrire la formule (pi’oir vierU de démontrer, savoir

. . . 4r fq ,

COMPLÉMENT d'algèbre.

sons lï forme symbolique

ou convenant de remplacer dans le développement les exposants de u par les indices correspondants, et le dernier terme i par

Si l’on donne comme précédemment ( 23i) les sept nombres lo, i4, ai , 33, 4 >7 57, 63, on aura directement

A‘.io=57 — 5.41 + 10.33 — 10.21 -i-5. i4 — 10 =:: 3a. ‘ '

236. Suppoxons, au contraire, ipi'nii donne te nombre ainsi r/ur ses m dijfémnres siieeessices A «, , A’ h, , A’«,, .... A"«, ( c’est-à-dire la première ligne horizontale du tableau indiqué au n"23i), et qu'on demande de trouver t expression du terme général //, ^ c’est-à-dire un terme quelconque de la première ligne verticale du mémo tableau ).

On a, par définition, *

//,= «, 4- A», = U, 4-2A«,-f-A’n,, Ah, = Ah, -q- A’h,, . . . ,

Dans les seconds membres des égalités obtenues, l’indice de A croit d une unité d'un terme au suivant. De plus, on reconnaît facilement dans ces seconds membres les coellicienls du développement de la puissance d’un binéme (x-|-h). Pour h,, on a les coeflicients d'un cavé; pour h, ,■ les coefTicienls d’un cube. Il faut prouver que la loi est générale.

Admettons qu’elle soit vraie pour u^, et prouvons qu’elle l’est encore pour H,,^,.

D’après l’hypothèse, on a

I u^ — U, -f- A H„ -4- CÇ A’ H, 4~ . . .

+ Q:. , •i" ■' «. + C; A- H. + . . . -t- Ar H. .

Cotte relation étant admise pour h, et les p différences successives Ah,, A’h,, A^h,, . . ., A^h, , sera également vraie pour la suite Ah,, A’h,,

A’ H,, A' H, Al"' H,. On aura donc, en forçant d’une unité tous les

indices du signe A,

{2) Ah,= Ah, 4- C'A-»h. + C' A'h, 4- . . . 4-C;, A"h. 4- • ■ ; + A'"' Mais, par délinilion.

Vi="i.+ ^'V

Kn ajoutant membre à membre les égalités (1) et (2), il viendra donc

Ah,4-C'

lin remplaçant alors, d une maniéré générale (61 ), CJ -4-Cj , par Cj*’‘>

Digilized bv

fi viendra

COMPLËME»T u’aLGÈBKE.