V. = cr ' A «. + cr ' A’ «.+ ... + c; • A” A

Ainsi, la loi existant pour existe encore nécessairement pour «j.,, ; ayant été établie directement pour h, et «j, elle est vraie pour /t, , ii^, Ole. On peut écrire la formule qu'on vient de démontrer, «avplr-

lA’«,-(- ...4- A’h.V

sous la forme symbolique

en convenant d'effectuer le développement, comme si le sî^ne A était une quantité, et en regardant les exposants trouvés comme les indices de A j«r rapport à II,.

Supposons, par exemple, qu'on donne (234) le nombre lo et ses six différences successives 4. 3, a, — 3», —83; on aura directement

h‘ — 10 + 5.4+ 10.3+ IO.Ï+ 5. {— 1 1) + 3'x =r 57.

Différences des fonctions entières.

237. Kliuit tUmné un polynôme de degré m, entier pur rnpjmrt it .r, si P on > substitue une suite de nombres en progression iirithméliipie, !n série des différences de P ordre m i/cv résultnts oittenns sera représentée juir une constante. *

Nous désignerons par y, pour plus de simplicité, le polynéme donné F (x), et nous aurons

Substituons à la place de x les valeurs

r •*'. -t-/'! -r. + ili, r.+ ii/i.

JS'

/i est une constante, raison de la progression dont le point déjia/t .c, est complètement arbitraire. On obtiendra pour v les valeurs correspondantes

Ces valeurs sont des polynùmes de d^ré m, entiers par rapport à .r, , et dont les coefficients sont fonction de h (sauf pour 4,).

On aura (H3)

Kk - r, — y. -= F( .r, + /i ) — F ( J-.)

F'(.c,) est du degré (/« — 1) en .r,, F"(.r,) du degré (i« — 2), etc. l'etle relation prouve donc que A v, est du degré ( m — 1) par rapport à .r, , et que ses coefficients dépendent tous de b. Il en sera de même pour A r, , ■ 1 car toutes ses différences premières se déduisent succes-

588 COMPLÉMKKT d'aLGEBRE.

sivemenl les unes des autres par le changement de j-, en a-, + /< (*), de sorte que leur degré par rapport à x, ne change pas. Ainsi, en passant de la série ( ■ ) à la série ( a ) ,

/<• rlcgn- s'abahse d'une unité. . ^ '

Mais la loi qui régit les diiïérences premières par rapport aux quantités qui leur ont donné naissance, régit nécessairement les différences secondes par rapport aux différences premières. La suite

(3) A\r., Vj,,..., iV,.,,'

sera donc formée de polynômes do degré (m — a) par rapport à i,, et dont tous les coefficients dépendront de A, et môme do h'. En effet, nous venons de voir que, dans la différence première , on pouvait mettre A en facteur commun. Si le polynôme r, = F(x,) avait lui-méme pré-, sente cette particularité, A se serait encore retrouvé dans les dérivées successives F'(xJ, F"(x,), et A v, aurait présenté le facteur com-

mun h'. Or la condition indiquée étant précisément remplie par A>,, tous les termes de AV,, et de même tous ceux de A’i, , A’r,, etc., contiendront h'.

En continuant le môme raisonnement, ou plutôt, en appliquant la loi , trouvée de proche en proche, on voit que, lorsqu’on sera arrivé aux différence# le degré par rapport à x, se sera abaissé de m unités, c’esla-dire sera de\enu zéro. Les diUéi-ences m"""', ne contenant pas x, , se réduisent donc à une quantité constante qui, d’après ce qui précède, ren,ferme nécessairement le facteur A".

Le premier terme de Ar, est le premier terme de F'(x,), multiplié

par A, ou '

Le premier ferme de A’ v, s’obtiendra donc en prenant la dérivée du premier terme de A et en multipliant le résultat obtenu par A, ce-fipii donnera,;

Ia: piemicr terme de A*v, sera de mènip

/« (m — i) (/« — a) A,xJ’‘-‘A’.

Enlin,. A’ premier terme de A"*v, ou rette différener rllc-mriitf.

( • ) Oit a, d'iiiic maliièro côniTalc, v-i =

.V,., i)AJ,

.ri - i)A]A -t- K'I — i)/ij — — a . ,

COMPLÉMENT d'àI.CÈBRE.

(tiiisiiu’i-llr >r rriliiil a n/ir rntistanir, mira jmur e.rprrs^mn

A’\v, - , - A”' V, - . . . = w ( «J — \ )[m — .x.\ K Ji-

Applications.

238. i" Carrés des nomhivs entiers. — I.a fonction esl ici y — j’. On doit substituer à la place de x lès valeurs i, a, 3, 4, etc.; la raison h esl donc l’unité, et les différences secondes qui sont constantes sont égales à a (237). Il suffit donc décrire dans une première ligne verticale les ' <leux premiers carrés i et 4i dans une seconde ligne leur différence 3, et dans une troisième la différence seconde constante a, pour prolonger ensuite le tableau autant qu’on voudra (234), en appliquant les formules