CARRÉS
If.
a” Ctdies des nombres entiers. — La fonction étant r = jr’. ce sont les différences /rrM.ot'/wcv qui .sont constantes et égales à 6 (237). Il suffit donc d'écrire dans la première ligne verticale du tableau les trois premiers cubes I* 8, a7 ; dans la seconde ligne, leurs deux différences 7 et iq; dans la troisième ligne, la différence seconde correspondante la ; et enfin, dans' la quatrième ligne, la différence troisième consüinte tl. On peut prolonger ensuite le tableau autant qu'on veut (231).
CIBES.
(il
ait)
ia7
5yo ■ COMPLÉME^T D'ALGF.BnB.
3" Siimmi: tics rtirrés tics m //rrmiers nnmbn's. — Prenons la suite v.=:o’, V, = oM- l’-l- '-i’, .r,= o’4- l’-t- -i’+ 3’,....
Les (lifforences premières de cette suite étant les carrés consécutifs i’, 2’, 3’,..., il résulte do ce qui précède (i“) que les différences secondes dw dilTérences premières do la suite considérée nu ses tlijferenret troisièmes, sont constantes et éitales à 2, île sorte que les diffêrcnres d'ordre supérieur u'existent pas.
On aura donc
Pour résoudre la question proposée, il suffit de trouver le terme général do la première colonne du tableau, lequel terme est éfSil à
o’ -M '+2’ -1-3» -f-;nL
Or, étant donnés et ses m différences successives [qui se réduisent ici aux trois premières ), on peut poser ( 23fi )
ou
y — III H 1 — — 1
comme nous l'avons déjà trouvé (63).
4" Somme des carrés des m premiers nombres im/mir.s, — Un nombre impair quelconque peut être représenté par 2x-f- 1, x recevant successivement les valeurs o, 1, 2. 3, etc. Si l’on considère la fonction v= (2X-1- ij»= 4-*’+ 4-e-l- I, on voit que les différences secondes on sont constantes et égales à i .2.Â, /r, c’est-à-dire à 8, puisque h est t^le ( à l’unité. Ceci posé, prenons la suite ^
I.es différences premières de cette suite étant les carrés i», 3’, 5»,
il résulte de ce qui précède que les différences secondes des différences premières ou les différences troisièmes de la suite considérée sont constantes et égales à 8, de sorte que les différences d'ordre supérieur n'existent pas. On aura donc
yj, =r 8
Pour réstiudre la question proposée, il suffit de trouver le terme général.>„ dé la première colonne du tableau, lequel terme est égal à
Digili. j by Goog e
COMPLÉIteiST D AI.GÉDIIK.
Oi', étant donnés .i„ et ses m dift'érenees successives (i/ui sr rn/in\frit tri aux trois prrmiàres), on peut poser (236)
r„= v,4r — Ar,+ >'. H ' '-^5 ' i’ V,,
.»«= m+ im(m-i)
ini[in — — i){2/j/ + i)
Si l'on pose, pour plus de simplicité, 1111 — i = /, on obtient ' *’
i\W«. La marche indiquée (3°, 4°) permet de calculer la somme des cubes, des quatrièmes puissances, etc., des nombres entiers ou des nombres impairs consécutifs. ' •
5° Considérons une fonrtinn du tmisiémc degré telle que
r = Jr’-4- 5.r’— 2X-4-7.
On mit calculer les l'nleurs de la fnnctinn, fmiir des valeurs de ta variable en progression aritliinétiipie de raison 1 :
On remarquera que, puisqu’il s’agit d’une fonction entière, la diflérence troisième est constante et égale a 1 .2. 3 ou 6 4 puisque l’on a, dans l’exemple proposé. A, = A = i). On cherchera directement les valeurs do la fonction pour les valeurs de x égales à — i, o , 1 , et l’on formera le tableau suivant qu’on prolongera facilement dans les deux sens, en se rappelant ce qui a été dit au n° 231.
te
Ayant' pour 7 les valeurs 1 3, 7, n, on en déduira les dilférences premières — *6et 4. la différence seconde lo. On sait que la différence troi-
(*) Les dernières formides établies (3’', 4°) sont utiles dans la théorie drs jtontt suspendus : elles servent à calculer la soniine des longueurs de tiges qui relient les cbaincs au tablier.
!tg2 COMPLÉMENT d’aLCÈBBE.
isième est constante et égale à 6. Pour avoir le résultat de la. substitution de + a , on dira donc :
Ü+10=lG, 1Ü + 4=20, aq-|-ii=r3i.
Pour avoir celui de la substitution de 4- 3, on dira de même, rn //r„i Mant toujours pur ligne oblique :
G4-i6,aa; aa4-ao,4a;, 4'A+3i,73.
Si l'on veut, au contraire, le résultat de la substitution de — a , il faudra dire :
lo — G=4, — G — 4 = — 'O, i3 — { — io)^a3,etc.
Cet exemple montre que, (Kjur calculer les valeurs d'une fonction entière du troisième degré, pour des valeurs entières de la variable on progression arithmétique de raison égale à l'unité, il suffit de chercher directement les valeurs de la fonction qui correspondent aux trois nombres entiers consécutifs— I, o, +i.
S'il s'agissait d'une fonction entière du quatrième degré, c'est la diflérence quatrième qui serait constante, et il faudrait calculer directement quatre valeurs consécutives de la fonction. ,
En général , i>üur une fonction entière du degré m, c'est la différence qui sera constante (231 ), et il faudra calculer directement m valeurs consécutives de la fonction, pour pouvoir ensuite calculer très-rapidement toutes les autres.
239. Rrmnrqur. — Il arrive le plus souvent, lorsqu’on considère des nombres dont la succession est assujettie à une loi régulière, et qui sont suffisamment rapprochés, que les différences tendent à devenir constantes à mesure que leur ordre s'élève. On peut alors , en négligeant les quantités qui n’influent pas sur le degré d’approximation imposé, regarder ces différences comme invariables, à partir d’un certain ordre et dans un certain intervalle; ce qui permet de calculer les valeurs correspondantes de la fonction, comme si elh? émit réductible à un polynômè entier.
