DF 1. INTERPOLATION

Définitions.

240. D'une manière générale. \' interpolation consiste à insérer entre les termes d’une suite donnée, de nouveaux termes soumis à la même loi.

Quand on insère entre deux termes d’uno progression un certain nombre de moyens, on résout un problème d’interpolation.

Dans ce cas, la loi est connue et très-faeile à exprimer pour les nombres intermédiaires qu'un cherche, mais ordinairement, c’est l’expérience qui a fourni des nombres dont la loi de succession reste inaperçue, et ce n'<*st, qu’approximativement qu'on peut calculer les termes intermédiaires. On

>lülilZÜO /

COXPLÉKEMT D'ALGÈBnE. SpS

y arrive en s’imposant, par exemple, la condition que les différences d’un certain ordre seront constantes, pour la série dérinitivement‘’bbtenue.

C’est ainsi que, pour les logarithmes, oi»' admet que des accroissements égaux des nombres produisent des accrois^ments égaux des logarithmes. Cette convention revient à supposer cô^p^tés les différences premières des Iqgarithmes, ou nulles leurs différences secondes. L’examen de la partie élevée des tables justiFie d’ailleurs la pl^portionnalité adoptée (eu égard au degré d’approximation voulu). •*-

Par sa nature même, le problème de l’interpolation est indéterminé. On conçoit, en effet, que, si l’on connaît les /n i valeurs de la fonction qui correspondent à ra + 1 valeurs données de la variable, il y a une infinité de fonctions qui peuvent, pour les mêmes valeurs do la variable, se confondre avec la fonction inconnue, en s’en écartant plus ou moins dans l’intervalle (*) ‘Y

Algébriquement, on cherche une fonction du degré m, qui soit satisfaite pour les 771 -f- 1 valeurs de la variable. Cette fonction existe toujours, et il n’en existe ^qu’ une ; elle fournit le moyen de calculer les valeurs qife prend la fonction , lorsqu’on fait passer la variable par les valeurs intermédiaires. Mais res valeurs doivent toujours être considérées comme approximatives ; car rien ne dit que la fonction inconnue soit du degré m, et l’on ne sait rien sur la forme qu’elle peut affecter.

Formule d’interpolation de Lagrange. *

2H. Posons ‘ . .■

Cette fonction doit être satisfaite par les //iH- 1 valeurs.r,, x^,x,,x„..,,x^, combinées avec les valeurs r„ f.xj,-

On devra donc avoir ;

j, = A,j-,"-l- A,x,""' -i-AjX,'"'’-!- . . . -1- A„,x,-4- A„, r, = A.x," + k,x"-' + A,.r,”-’ . -f- A„, X, -H A„,

Pour déterminer les //i-t-i coeSicienls inconnus A,, A,, A,,. . A„, on a donc 777-t-i équations du premier degré. 11 suffit de résoudre ces équa-

(*) C'est ce qu'un tracé graphique met complètement en évidence. Si l'on pbrte en abscisses les valeurs de la variable et en ordonnées les valeurs corres* Fig. 7. pondantes de la fonction, on*pctft réunir

les différents points ainsi construits par une inflnité de courbes qui, toute^ sMisfcront aux conditions imposées, c'esUà-dire qui, toutes, pourraient représenter aussi ^ bien la fonction cherchée, si l'on s’en ten.iit aux seules données numériques delà ques* tion. Mais la continuité qu'on observe en général dans les lois naturelles, porte à choisir, entre ces courbes, celle qui présente le moins de sinuosités ou dont la marche intermédiaire présente le plus d'analogie avec la niarrhe générale indi-

quée par l'ensemble points eonsidérés, «0

5^4 COMPLÉMEIfT d'alGÈBAE.

lions pour obtenir la formule demandée ; mais la marche suivante est beaucoup plus rapide.

Posons

u„ (X|, f*,, . . . , u^, étant des fonctions de x qui doivent, d’après le problème posé, satisfaire aux conditions que nous allons énoncer :

Pour x = x^, il faut qu’on ait c’est-à-dire il faut que u, se ré-

duise à l’unité, et que f», , F, „i deviennent nulles;

Pour = .r,, il faut qu’on ail/=j,, c’est-à-dire il faut que p, se réduise à l’iinilé, et que jx,, u,. . . ,f„, deviennent nulles;

Pour x = x^, il faut qu’on ail y~r„, c’est-à-dire il faut que se réduise à l’unité, et que Fo> ,“,i ,“i.- ■ -i F«,-u deviennent nulles.

On voit immédiatement qu’on peut, d’après cela, écrire

, F. = K{-r-x,) (ar-.r,)... (x-x„);

car pour toutes les valeurs x r= x,, ,r = .r„ . . ., x =x^, [t, deviendra bien nulle. Maintenant, pour que f, soit l’unité pour x =; x„ il suffit qu’on prenne

"Donc

On trouvera de la même manière

(•J?,--»’.H-r,-xJ...(x,-x„)’ ' ■ >

La formule cherchée prendra donc la Corme

J-’équation obtenue est du degré m, et elle est satisfaite par (w-f-i) couples de valeurs. Toute formule trouvée par une autre méthode ei ^ Vsatisfaisant aux mêmes conditions, devra donc être identique à la précédente. En elfel, deux polynômes en xdu degré /n étant égaux pour plus de M valeurs de la variable (pour m-t- i dans le cas actuel), coïncident entièrement (178).

212. Remarque,— \jü démonstration précédente prouve d’elle-mème que le problème de l'interpolation est complètement indéterminé. Car, si ron n’exige pas que la fonction intAnnue soit entière, on pourra soumettre

COMVLÉMEKT d’algèbre. 5()5

lo8 différenceR x — x,, ^ — x, , x — x, , etc. , à tels signes mni’matilf. ment choisis qu'un voudra. Par exemple, on peut prendre

sin (x — X, ) sin (x — xJ. . . sin (x — x„) 3in(x,-x,jsin(x,-x,)...sm(x,-x„) ’

.. OU bien

Formule d'mterpolation de Newton.

243. La formule de Lagrange, très- générale, est nmins propre aux calculs que la formule de Newton; mais cette dernière exige que les m-i-i vàleurs données de la variable soient en progression par différence.

Soit X la fonction cherchée. Soient ^

-r.-t-/'. x-. + aé,..., X. + //;/),

les m -I- 1 valeurs de la variable en progression par différence rie raison h, et , .

les /n -I- I valeurs correspondantes de la fonction. Nous aurons dans tous les cas (23(i)

m [ni —

m m{in — \] /» »/— (rtj— i)l

r„= iv.-H ! ! A’r, -(-... H ! i - J .

Remplaçons r„ par >- et posons

.r = X, -f- mh.

Nous en déduirons

Il viendra, par suite,

Je dis que cette fonction, si l’on y considère x comme variable, répond aux conditions imposées (210). Elle est évidemment du degré m, le dernier terme renfermant le produit do m facteurs du premier degré en x. De plus, si l’on fait x = x, + nh, c’est-à-dire si l’on remplace x par un terme quelconque do la progression arithmétique formée par les vateurs

de la variable, on doit remplacer par n le facteur — ^ i et l'on obtient

ainsi dans le second membre la valeur dej„; de sorte que la fonction r prend bien alors la valeur correspondante à x, + nh. Il faut remarquer que, dans ce cas, les termes du second membre qui suivent le tqnne

disparaissent comme renfermant le facteur n — n en numérateur. ^

5^6 COMI'LÉMEIST u' ALGÈBRE.

L’avantage de la formule de Nevvlon est de renfermer les différences successives qu’on déduit dos valeurs données de la fonction. Ces différences diminuant, en général, très-rapidement, on pourra, dans la pratique, conserver seulement les premiers termes du second membre, et n^ligcr tous les autres.