CHAPITRE III

RKSOU'TIOPt DES ÉQUATIONS NUMÉKIQUKS.

248. En général, on commence par chercher les racines commensurables de l’équation proposée, et l'on supprime les facteurs correspondants.

Ensuite, s’il y a lieu, on appli(|ue à l’équation simplifiée la méthode des racines égales, de manière à pouvoir opérer sur de nouvelles équations n’ayant que deé racines inégales. Cette précaution est indispensable «i l’on veut pouvoir affirmer qu’entre deux nombres qui, substitués dans l’équation, donnent desvrésultats de signes contraires, il n'existe qu’une seule raici^.(èes deux nombres étant suffisamment rapprochés).

Le théoÈàine de Descartes fora d'ailleurs préalablement connaître des limites sûpérieiires des nombres de racines positives et négatives que l’équàtion cUTâldérée peut admettre.

Il sera encore c<Aïon^o de déterminer, comme nous l’avons indiqué I Livre III, Cbap. ij aussi resserrées que possible, compre-

nant les racines iwàîtives'oiHi© part, les racines négatives de l'autre. Dans tous les c;ia, si l’on'tmploie la méthode des différences, la valeur de jpour laquelle y. et toutes les différences correspondantes seront positives, conduira à une lipiite supérieure des racines positives facile à former (247).

.Méthode des différences, séparation des racines.

249. L'équation proposée étant du degré w, la différence /»“*“ de son premier membre sera constante et égale é i.a.3...;nA, (.\. étant le coefficient dc.x", et A étant égale à Tunité). Il suffira donc de calculer directement les m Valeurs de ce premier membre pour les m substitutions

On pourra alors former facilement un Dbfcau semblable à celui établi au II" (.5°). On aura soin de tenir compte des indical)mns fournies par les limites (248), de manière à ne qiasiqvrolonger le tableau inutilement flans un sens ou dans l'autre. «

- Si les résultals fnuruis par 1rs siirisliliilien.s entières ne sont paif. tous

COMPLÉMENT d’alcèdre. 5gg

de mÉnio signe, deux résultats consécutifs seront, une ou plusieurs fois, de signes contraires; entre les nombres entiers oorres|)ondauts, il tombera nécessairement un nombre impair de racines (180).

Si les intervalles ainsi marqués répondent au nombre des racines réelles possibles d’après le théorème de Descartes, les racines seront séparées, c’est-à-dire qu’il existera une racine, et une seule, entre deux substitutions entières ayant donné lieq à un changement do signe de la fonction.

Il n’en sera pas ainsi en général : ou le nombre des intervalles obtenus , sera inférieur au nombre des racines réelle^^ibles, ou il n’y aura pas de changement de signe. Il faudra alors recourir à d’autres substitutions plus resserrées;. et pour n'en |)as faire de tout à fait inutiles, on s'aidera d’un tracé graphique.

On portera les valeurs é<]uidislantes (— a , — i , o , i , a , ^ .) de la variable en abscisses, et les valeurs correspondantes de la fonction (inscrites an tableau déjà formé) en ordonnées. En joignant par un trait continu les points ainsi déterminés, on aura une courbe qui représentera appro.\imativement la marche de la fonction, et les points où cette courbe rencontrera l’axe des abscisses ayant das ordonnées égales à zéro feront approximativement connaître les valeurs do la variable, qui annulent le premier membre de l’équation et sont les racines demandées. Ce n’est donc que dans les intervalles qui sembleront comprendre les valeurs correspondantes à ces points d’intersection, qu’on devra essayer de nouvelles substitutions.

Ces substitutions se feront en prenant /; = o,i pour raison de la nouvelle progression arithmétique formée par les valeurs do j: ; et en général , elles Bulhront pour décider (en rejirenanl le tracé de la courbe s’il est nécessaire dans les intervalles considérés) s’il existe ou non des racines dans ces intervalles. ,

Pour opérer ces nouvelles substitutions, on.^urra^üivre. une marche identique à celle qu’on vient d’indiquer pour les sul>stitut{ons entières.

En continuant ainsi, on pourra, non-seuftmenjt.fé/.)/7»*r les racines, mais

en approcher à moins d’un dixième, d’un centième,' d’un millième, eic.

Application aux équations dn troisième de^é.' *

230. Au lieu de chercher directement les nouvelles différences qui dé- {tendent de la rtdsnn o , i , il est préférable de déduire ces différences des {tremières calculées. C’est co-lpi’il est facile de faire à l'aide de formules générales qui sont d’un usage commode dans le cas du troisième degré, mais qui deviennent de plus en plus compliquées à mesure que le degré s’élève.

Dans le cas où 1a fonction/ = F ( x ) est du troisième degré, on a (237)

AF(x) = F'(-r)A-f F'(.*)'^ + F”’(x)^.

Le second membre est un polynémo dn second degré que nous pourrons désigner par /(x). On aura alors

6oo

De

COMPLÉMENT I)’aLGÈBRK.

/(x) = F'(^)A + F"(x)^4-F-(x)^ uD déduit, en remarquant que F” (x ) est une constante,

La valeur de A’ F ( x ) dépendra donc

Le second Membre do cette relation est une fonction- du premier degré qu’on peut désigner par if (x). On a alors

On a ainsi les relations suivantes ;

AF (X) F'(x) h + F' (x) A’ + F"(x) ,

Ces formules étant complètement générales, supposons que la raison h devienne lo fois plus petite ou égale à -^7 et désignons les nouvelles différences par S. Nous aurons

' J ip aoo ' ' 6000

, , ' » 100 ' ' lOOU

Vp o'>F{x)= F"(x) —

On voit que : • '■

1° 5’ F(x) c.t/ la millième partie ffc A’F (x) ;

i“ J’F(x) .ce compose de 5’F (x), plus,fm terme <pii est lu centième partie de F"(x)A’ ou de A’ F(x) — A’F (x), c'est-à-dire la centième partie de la ditTèrence qui précède verticakmcnl A’F(x) dans la série des H’ (234, 5“);

3° lîF(x) se' compose de trois termes dont les deux derniers seront immédiatement connus d'après lêfcalcids précédents j^le dernier est le

* li‘ T

sixième de F ( x), et l’avant-dernier la moitié de F' ( x) 1 1 et dont le

premier est égal au dixième de F'(x)A, c’est-à-dire au dixième île la ^somme des trois quantités conniws

AF(x)

A’Fi(x) — A’F(X) A?F(.r'j

Diqilize<l.bv.Lrf>olie

COMPLtXEIfT d’àLGÊBRK.

6oi

fn vertu de Ut relation

• . AF(x)=F'(x)A + F"(x)AVf'”(x)|.

En résumé, on peut écrire, en désignant par/, la valeur de la fonrlion qui sert de point de départ, et par/, la valeur précédente dans le tableau déjà formé qui correspond aux symboles A ;

<ÏV. = ^.

lOOO