Soit l'équation

X— tangx = o.

Cctie équation ne change pas, lorsqu'on y remplace x par — x; à chaque racine, correspond donc une autre racine égale et de signe contraire. On peut donc no considérer que les racines positives.

Lorsque x est positif, il faut que tang.r le soit aussi, pour que l'équation puisse être satisfaite. Les arcs x ont donc leurs extrémités dans les quadrants de rang im(>air, puisque la inn^cnte n’est positive que dans ces ((uadrants {voir la Tri^'., 9); et leurs valeurs sont comprises entre nr.

et TT, « étant un nombre quelconque entier et positif.

Dans chacun des quadrants ainsi limités, l’arc et la tangente vont ensemble en croissant, l'arc de «-à ^7 's tangente deo à » ; donc,

n çhmiuc ijundrnnt, correspond une racine réelle et une seule.

L’é<iuation proposée admet, par conséquent, ««c i/j/T/m'/c de racincif réelles.

prrmirre racine (celle qui correspond au premier quadrant) est évidemment x = o. A mesure que le rang du quadrant considéré s’éloigne, l’extrémité de l’arc x correspondant .«'éloigne au.ssi de l'origino du quadrant.Soienl.en effet,n7r-(-a la racine et (« -|-/>)ff-|-pia («-(-/j)*"'

COMPLÉMFMT DALGÈBUE.

rai-iiie, » cl p étaiU inférieurs a -• Oii aura, d'apres l'uqualioii donnée, lang (/rrr-4-a) = «r + a, '

Ung[(/J-t-/»)-4-Pl =

Mais

tang(/jT: + a) =r langa, tang [ ( « -f-y> ) rr + ^ ] = tang 3.

Or («+/*) TT -f- P l’emporte nécessairement sur/iir + a; donc on a tangP>tanga ou i3>a.

Enfin, si l’arc considéré est trop grand, la tangente correspondante ■ l’emporte sur lui; s’il est trop petit, c’est l'inverse. Car la fonction commence toujours par être positive dans chaque quadrant, puisque lu tangente • part dé la valeur zéro.

Proposons-nous maintenant de calculer la secom/e racine, celle qui correspond ail second quadrant de rang impair, c’est-à-dire au troisième qiuulrant du cercle.

La table placée à la Gn du volume montre qu’on a

: ürc 257“= 4,4855, tanga57°= 4,33i5,

. arc 258"= 4,5o3o, tang 258“ = 4,7046 ,

c’est-à-dire que la racine cherchée est cemprise entre 257“ et 258".

Cela posé, nous allons faire Croître x de 10' en 10'. Il viendra

x=%5j°io', 0,098712,

L’arc cherché tombe donc entre a57°.2o' et 257“ 3o', pIÛs pfS'de chlto dernière valeur. « ■ ^ - . •

D’après le calcul effectué, on a i, ’ * * ■ ’

■ arc257°2o'= 4,491 ••• I arC257‘’3o'=fc4,4g4<- ■

Un peut donc prendre |iour valeur approchdét ,de »■ à 0,01 près, , -r = 4i49i puis, achever le calcul par la méthoïe do^'^JUn^(3GîJ.

Méthode d’approximation de Newton, ’l

261 . Soit d’abord F ( x) = o une équation algébrique eÿière,. Désignons par a la valeur approchée d’untf racine réelle, et par a + h la valeur exacte de cette même racine. Nous aurons en même temps (113)

F ( fl + /i ) = ü

F(«4-/i) = F(«) + F'(rt)/i4-P{fl)i^-i-..*.-+-F‘‘">' '

Un en déduit

et

ip -T ’-JlL'î-L /, + 1.

F'(«) •2,3.F'(fl)

Les termes de la parenthèse sont inullipli'és par A et par des puissances

6l4 COMI•LÉM£^T 1)' ALGÉBIIË.

siipérieurus de /i, a partir du secund^bt jfelretilhèse elle-même est multipliée par h'. Si l'on néglige celle parenthèse, un aiira donc, avec une approximation d'outant pins grande que h sera plus petit,

et la valeur tifiprorhér de la racine deviendra

Fl

Si l'un désigne par n, cette nouvelle 'valeur, on pourra s'én servir |H>iir trouver une seconde valeur plus approchée,

Bt, un répétant plusieurs fois la même opération, on obtiendra rapidement unb très-grande approximation.

On |)out se faire une idée de la manière dont les approximations obU'nues croitront, à l’aide de la remarque suivante.

Si l’on néglige les termes de la parenthèse qui, dans la formule (it. contiennent //, on pourra regarder l’erreur commise comme à peu près égale à

a F' ( rt )

•Vf «r intérieur it t'uniie, l’erreur sera donc moindre que h'.

a F (fl)

c’esfr-à-dire n\ie tiim/tte applieation de Informulé (a) doublera le nomhn f^lcs ck0^ d^hnnn.Y rjracts. Si la racine est connue à o,oj près, c’esUi- » dire si7i est fflbüidre que ô,di^'erreur commise en se servant une première fois de la forinule,^a)^rh' le plus souvent moindre (|ue o,oooi , ci s! l’on's’cn sertHine'secot^e.fqû^ on aura la racine à u,oooooo<)i près.

s’assurer, à cliaqu

i|^^V|lfl|l^'imatiori qu’

• l.:i mél^l^lle Nevvlj^ est également applicable aux équations trans-

'' Bi^Tèt, Oh P t^ans cq Cas ( M4)

D’ailleurs , il sera fqgile dans^^que cas paVliculier de s’as fvirrtr//f//^’'dè^la' vérilahl^VrtÉwimaliori qu'on aura atteinte.

7. étant une quantité très-|>elite qui s annulerait avec h. C>n en déduit . piiisi|u'on doit avoir F(« -t- A) = o,

el, apprOximativeineiit. ^

gtii. Keprenons Tequation .

déjà l■l)n^illélee i2’il). .\im.s avons Hrotivé ipic lune des racines -posilives

COMfLKMEWT JJ ALGEBRE.

de cette é(]uulioii uvait o,a5 valeur approi-héc à moins d’un centième. Si nous re|>résenion.s,g^ racine par o.aS 4-//, h sera moindre que 0,01, et l'on aura exacHMlInl

On a d'ailleurs

Pour X = 0,25, le cocOicient de h‘ est moindre que i et celui ée /j’ est

moindre que ^ • Par suite, le second terme dq second, membre est moindre

que 0,000023 et 1e troisième terme est moindre f|tieo,oooooo3. On aura donc, à 0,0001 près, < ’*•

D'après le tableau formé (231) 5t le calcul préparatoire effectué, on a pour X = 0,25

Donc

F(x) = O ,oi5625 et F'(x) = — 3 , 8i25.

• , o,oi5Ga5

et la racine é o,uooi.près sera 0,2541.

Si nous représentons maintenant la racine par 0,2541 4 /(,, //, sera moindre que 0,0001, et l’on aura exactement ^

Pour X =r 0,2541, le coefficient do h\ >

est moindre que i; par suite, le second diTtècùnd membre est

moindre que 0,0000000025 et le troisième que u.ooo<H)oaJII>ôoo3. Ou anla donc, à 0.00000001 près. ^

. , i = - FV) " ■■3T«iÆ2^7 " °

et la rucinu cliercbéo sera, a\ec Iq’ même approximation.

263. Pour l'équation iranscenilantp.r — langx = o, nous aVone trouvé (2(iO) que la seconde racine 4,0,01' pVès'était x= 4, 49.

Appliquons la méthode dç^Nexvtorj. On a ici

F'(.r) — 1 — (1 4->ta*ng’x) = — lang^x.

Par suite, la première convethn^exA

• ” f f* r' • laiig.r

F'/.r) <■ ’Rinp’x

6l6 COMPLÉMENT d’algèbre.

Pour convertir 1 arc x en degrés, nous nous servirons des tables de réduction qui font partie do celles de Gallet. >'ous aurons

c’est-à-dire

et