II. en résulte On a ensuite
3, 49o658So ^
0, oo45o382
0, 0ooj4«^
o»oooi9575's
X = aâ7* 1 5' a8“ , 98 ,
log tangx = O, 6456433
tangx = 4, 4aaa5.
X — tangx = O, 06775.
log(x— Ungx) = â, 8309093 loglang’x = 1,29128661
logA = 3,5396227'' t".
La valent, de x^^it àônnée^ p,oi près : nous pourrons regarder h comme exact à o, oôbi prés. \
• Appliquons une seconde fois lii^éthode. '
Nous aurons ^
c’esl-à-dire
d’où
et
Jlen résulte
'•hBl-
O, 00004986 o,(x>oo4848 = 10”
O, oooôoj3*fe = o", 28,
X = 257” 27' 10', 28, log tangx = o, '6525566 tangx =± 4,493208.
X — laitg.r 1- O, 000192. ~
COMPI.ÉME«T d’algèbre.
Ou a ensuite^ .
' log(jr — tangx) = 4,i833oiji .
log tang’ .r = 1 , 3o5 1 1 3'a »
log/<, = 6,9781880 //, = 0,00000961.
La nouvelle valeur de x était exacte à 0,0001 près : nous pourrons regarder A, comme exact à o,ooo<mk)oi près, cl prendre
ce qui revient à
Cette valeur est exacte à o” , u 1 près par défaut, comme il est facile de s’en assurer. ,
Interprétation géométrique de la méthode de Newton (*).
264. La recherche des racines réelles de l'équation F (x) = o revient à la détermination des points où la courbe qui a pour équation y = F (x) coupe l’axe des x.
Soit a une valeur approchée do l’une des racines de l’équation F ( x) = o; Jl ^ pour celte valeur a substituée à la place de x, on aura/=F(a). L’é- Kv' quation de la tangente à la combaj'-=^F(x), au point dont les coordon- , nées sont x = a y =
Le point où cette tangente coupe l’axe des x a pour abscisse la valeur
F'(fl)’
Fie
et celle valeur est précisément celle ejue fournit une première application de la méthode de Newton. Ainsi, OP représentant lu valeur approchée a de la racine cherché ÜC, si l'on mène au point M de la courbe, qui correspond à l’abscisse OP, une tangente MT, le point T sera, rn général, beaucoup plus près du point C que le point P, c’est-à-dire que OT sera une valeur plus approchée de la racine OC que OP = a. En remplaçant alors OP par OT et en menant jwr le point M' de la courbe, qui a pour abscisse OT, une nouvelle tangente, on obtiendra une valeur OT' encore plus approchée, et ainsi de suite.
Cette interprétation montre on mémo temps qu’il faut, pour que la méthode soit applicable, que le point T soit en réalité plus près du point C que le point P.
(*) Ce par.i(;ri«iihc suppose des Notions de Géométrie .snaly tique {Voir I. III).
COMPLÉMEÜT D ALGÈBRE.
C’est ce qui pourrait n(s pas arriver si la valeur approchée .r = « corres{)un(lait, par exemple, sur lu courbe, à un point voisin (^gn point iitti.amuni. Dans co cas, la valeur absolue de F' («) pourrait être trîs-petito F(«)
et le terme de correction — ;
extrêmement grand, c'est-à-dire cora-
piêtement illusoire.
Ainsi, rt'cF b étant les deux nombres qui, comprenant la racine, ont servi à la .séparer, il faut, pour le succès certain de la méthode, qu’il n'y ait entre les points do la courbe qui correS[iondenl aux abscisses x = «, .i =Z>, aucun point ma.rinmm ou miniimim, non plus qu’aucun point d’inflexion (*); en d’autres termes, il faut qu'il n'y ait entre o et b aucune racine des équations
26o. L’interprétation géométri<|ue delà méthode de New ton permet de procéder souvent avec plus de sécurité, en conduisant à une interprétation analogue de la méthode d’interpolation bornée à l'emploi des parties pro(>ortionnelles (2lt).
Soient, en effet, (HJ et OP les deux abscisses x, et x, -f-A qui comprennent la racine (Xl = .r. Menons la corde MN qui joint sur la courbe
les points corri'Sjtondants à ces ab-
fig i-a scisses.Celtc corde coupera l’axe <k4-,
abscis.^es nu point S, tandis <
' tangente MT le coupera au |>oiiitj te |)oint C lombera nécessairemeril entre les points S et T (si l’arc do courbe ne présente aucune inflexion entre les points M et N) ; la racine chen^iée sera donc comprise entre les valeurs OS etOT, et Terreur coramiée en la remplaçant par Tune , d'elles sera moindre que leur dilTérence.
Ceci posé, menons )>ar le jKiint N la parallèle NI) à Taxe des x, jusqu'à la leuconlre de MP. Les triangles semblables NtJS. NMD, donneront
OS
Jvf)
Mi)’
NI) représente Tmtervallc A des .substitutions; N(J repn-sente — j, (ou Tordonnée qui correspond à x, prise en signe contraire, c'est-à-dire
( * ) Un point d'inflexion est, conimo on le sait, caractérise par le changement de courbure de la courbe ( l'arc devenant concave après avoir été convcie, ou rccipro(iiicment). Il en résullcqu’cn un ]>oint d'inflexion, P'(jf ) change d'allure, c’est-à-dire diinitiiie .iprés avoir augmenté jiiscpi'à ce point, on augmente apr« avoir diminue. F"(r) passe donc alors du positif au négatif ou ^u négatif au p<»sitif (I-45'i ; ce «jui umnire tpie les abscisses «les points <rinn«'Moii sont données par F''(r):=:0, rmmnr celles des peints inavimiiiiis nu iiiiiiimums par l”(a) = O.
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COMPLÉMEM' u’ ALGÈBRE. 619
en valeur absolue), ol MD la différence j>, — ou A r,. On a donc
h Ar.
^ est donc précisément ce que nous avons désigné précédemment par z (241, 257), et
*■ OS = X, zh
est la valeur approchée fournie par la méthode des parties proportionnelles. ^ * y; '
OT et OS donnant ainsi deuï y^iirs approchées de la racine OC, l'une
