METHODE DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES
267. La méthode la plus simple qu’on puisse appliquer à la résolution des équations numériques est la méthode connue sous le nom de méifitxie tics approximations successives par substitution. El dans certains cas, c’est la seule méthode qu’on puisse réellement employer.
D’une manière générale, elle consiste é mettre l’^ualion proposée sous la forme particulière '
c’est-à-dire à isoler l'iuconnue dans le premier membre, sans se préoccuper do laisser cette môme inconnue engagée dans certains termes du second membre. En négligeant alors ces mémos termes, on obtient pour x une première valeur approchée. En substituant celle valeur dans le second membre de la relation
sans’négliger cette fois aucun de ses termes, on obtient une seconde valeur plus approchée, qu’on substitue à son tour. El l’on continue, jusqu'à CO qu’on parvienne au degré d’approximation voulu.
Il arrivera souvent que les valeurs ainsi obtenues convergeront trèsrapidement vers la valeur exacte de la racine.
Soit a une quelconque des valeurs approchées {à partir de la seconde) et fl -I- // la valeur exacte de la racine. Nous aurons
Mais (114)
fl -i- // —f{a 4- h).
Par suite.
f{a + k)-f(a) = h[f(n)+tsl (fl-d- /') — /(") = /'[/'(«) -h »].
L’erreur commise en prenant /(«) pour racine wldonc, à très-peu près, égale à li.f[a)\ ce qui montre que la méthode n’est applicable cpi’autant que /'(fl) est moindre que i. Lors<pic la méthode peut être employée, les chiffres communs à deux valeurs approchét's conséculives appartiennent à la valeur exacte.
Application aux équations du second degré. 2G8. Dans le cas où ie rocflici^t « de l'équation générale
rtx’ -4- Ar + f = O . ■»
est très-petit', Ta fôi
n’est pas propre aux calruls numériques. En effet, aftrès avoir obtenu approximativement la valeur du numérateur, il faut la diviser par on divisera donc en même temps l’erreur commise par une quantité trèspetite, c'est-à-dire qu’on l'augmentera dans une très-grande proportion. La difficulté est immédiatement levée par la méthode des approximations successives.
Cherchons d’abord la racine qui diffère peu de — on obtiendra ensuite'la seconde racine immédiatement, puisque la somme des deux racines est connue et égale à
Mettons l'équation donnée sous la forme
On a ici (2C7) d'où
c ax
y, , C OX' ^
a étant très-petit par hypothèse, f'{x) sera inférieur à l’unité, et l'on peut appliquer la méthode.
•" La^remièro valeur approchée est \ ^
IA seconde valeur approchée s'obtiendra en substituant — ^ à la place de x’ dans le second membre de l'équation (i). Il Viendra
Cet|^ Valeur sera, en général, suffisamment Approchée au point de vue praUque. On pourra d’ailleurs obtenir une troisièlhe valeur plus appro-
ÎÉk C ÛC^
chée eBcore, en substituant — j à la place de x, dans le second membre de l'équation (i). Il viendra .
c a t c ac’ \' c ac' in*.:
COMI■LÉME^T d'algèbre.
On doit d’ailleurs s’arrêter au troisième termedu second membre — et prendre pour formules d'approximation successives :
r ar^ inV’ Srr’c*
ar^ ttt ur
h b' // fe’
On voit que chaque valeur se déduit de la {)récé<lente par l’addition d’un terme do correction, et que les erreurs qui subsistent après cette addition sont toujours très-petites par rapport au terme ajouté; ce qui, dans toute question d’approximation, est une condition essentielle. Ainsi,
quand on prend x = — l'erreur commise contenant a comme facteur,
, c ..1 1 c rtc’
est très-petite par rapport a — ^ • Quand on prend .r = — — -j^ ,
l’erreur commise contenant o’ comme facteur, est très-petite par rapport à p-; etc. D’après cela, en s arrêtant à un certain terme, on saura toujours si la valeur adoptée est approchée p;{r excès ou par défaut : il suf-. tira de consulter le signe du premier terme de correction négligé.
2C9. Reprenons le problème du puits I dl^. élém., 198). Nous av ons trouvé pour éipiation
lx‘ coefficient — de .r’ est égal à Nous pouvons donc appliquer la
formule
c ae
^Htistpte e’est la plus petite racine rpti répond seule au problème. . ^
Si l’on suppose T = lo", par exemple, on aura
I , / lo I \ ■
% a = ^7—, ) * = — al77--t--)> c=ioo.
En adoptant pour g la valeur 9, 8ogi{ cl en otTectuant les calculs, ou trouve
> A = — O , oCtyrS.
On a alors y
d’où, pour promièro valeur approrhée, ^
Cailculons la correction Nous aurons
D''vî! •
COMPLÉMENT U ALtiÉBUE.
On en déduit
ac
et, |iar fonswinent, on obtient pour seconde valeur approchée < tic- M ,
J- =r — -r rr- = l8:> , il I .
Comme il est facile de s'en assurer, cette valeur est exacte à moins de 1 mètre, apiiroximation bien suffisante au point de vue pratique (eu égard à la question posée).
270. Hfiimrt/iic. — Lorsipie c est très-petit dans l’équation
ff.r* -1- hx r " O,
sans que « et h remplissent la même condition, le produit - des racines
est très-petit, sans que leur somme — - le soit. Une des racines est donc
très-petite, et l’on )icul, pour la calculer, employer encore les formules précédentes. En effet, on peut toujours écrire
c : ox‘ *
ax‘‘ *
et le terme -j- est tres-petit par rapport a .1;, puisipi’il^ contient x au
carré. La première valeur approchée est donc .r — -, \a seconde sera
etc.
271. Si l'on voulait appliquer la méthode de Newton à l’équation
en partant de lu première valeur approchée — on aurait pour la première correction h ‘ •
/, rz -
/ c \ -JilW , '
et si l’on néglige devant b au dénominateur le terme lres-|)Ctit ,
on trouve A ;
ac‘
