IF
Équations de degré supérieur.
272. On [icut se servir des considérations qui précèdent pour résoudre l’équation du troisième degré ax'-\-hx-\-c o, quand le coefficientyr est trè.s-[H!lit. Nous ne nous y arrêterons pas. L'exemple suivant suffira pour montrer la marche à suivre dans le cas des éipiations algébriques do degré ipielconquo, lorsqu’elles se prêtent à l'application de la méthode'.
6a4 COMPLÉMENT d'aLGÊBRE.
Quand on clierche le diamètre qu’on doit donner à un tuyau de distribution d’eau pour que la dépense ( volume d’eau fourni par seconde ) et la charge par mètre courant (c’est-à-dire le quotient de la hauteur d'eau nécessaire pour produire l'écoulement malgré la résistance du tuyau, par la longueur du tuyau) aient des valeurs déterminées, on est conduit à une équation de la forme
p, o,ooo5o7 0’ 0, 00001294 0’ ^
I) est le diamètre cherché, Q la dépense et J la charge imposées; les nombres qui entrent dans l’équation ont été déduits de l’expérience.
Supposons qu’on donne
Q = O**', 006283 et J = o“ ,01649.
L’équation proposée n’a qu’une seule racine positive (199) : c’est cette racine que nous cherchons. /-
A cause do la petitesse du coefficient 0,00001294, on commencera par négliger le terme constant de l’équation. Il vient alors, en divisant par D,
o,ooo5o7 q*
Première valeur approchée de D.
Iogo,ooo5o7 ïé'-4.,'7o5oo8o
^ logQ’ = 5,5963342 log 0,006283 = 3,7981671 Lo, 1 5421 3 = 0.81 18875 log 0, 1 54213 = 1,1881198 LJ = 1 ,7827793 logo, 01649 =2,2172207 log D‘ = 6 , 8960090 logD = 2,9792018
Pour calculer la seconde valeur approchée de D, il faudra calculer le terme constant de l’équation et le terme qui contient D à la première puis.sanco (ce qu’on fera très-simplement en ajoutant le logarithme de la première valeur de D au logarithme de D' qui a* servi à l’obtenir, et qui
représente le logarithme de ’
Seconde valeur approchée de D.
log
o,ooo5o7
log D = 2,9792018
7,8752108 ogo, 00001294 = 5,11 19343 log Q’ = 5,5963342
Lo, i542i3 = 0,81 18875 L J = 1 ,7827793
7,3029353 0,000000200879 D* = 0,000000951 122 logD‘ = 7,9782362 logD =2,9963727
COMPLÉMENT d'alGLBRE. 6a5
On opérera d’une manière analogue pour trouver la troisième valeur approchée de D, en se servant des réâUltals déjà obtenus.
Troisième valeur approcher rir D.
• logD = a, 9963727
7,8ga38i7 0,000000780516 (Terme constant) o,ooooooaoo879
■ . logD‘= 7,9918438 ...
• , logD = 3,9986406 **■
Au point de vue pratique, on peut s’arrêter, car les logarithmes des deux dernières valeurs de D ne diffèrent’ pas de o,oo3. ^ deux der-*" nières valeurs sont, d’après les logarithmes obtenu.s,
0,099168 'et 0,099687.
On adoptera donc pour le diamètre du tuyau la valeur o** , 099 ou 'mieux la valeur o“, 100. *
Pour la valeur D = o , 099, le premier membre de l’équation se réduit à —0,000000038588; pour la valeur D = 0,100, il se réduit à + 0, 0000000 laoàg. La racine demandée tombe donc entre 0,099 .0,100, et plus près de ce dernier nombre.
273. l’aide d’une annuité a = francs, on a pu éteindre une dette de aooooo francs en 5o ans : on demande le taujc de Vintérét.
On a dans ce cas ( Jlg. élém., 274)
et, à cause de la petitesse du second terme du second membre, on peut employer la méthode des approximations successives. La première valeur
de r sera donc *■ = j *
Première valeur approchée de r.
logo = 41O7868 logA = 5,3oio3
loge — 3,77765 r = 0,0,59931
Cette valeur est approchée par excès.
qo
6a6 COMPLÉMEMT d’algèbre.
• Srronile valeur nppmclièc île r.
lo"n — - 4, 0" 868 L A = 6,69897 '
L(i4-r)“ = 2,73612 )oi;(i + r)- 0.02527760
lo"
Celle seconde valeur esl encore approchée par excès, puisque ta valeur de r substituée dans le second terme du second membre de l’équalion (1) était elle-même approchée par excès.
Troitième valeur ajiprnehce <lc r} ■ ' logti = 41O7868 * • •
L(i-l-r)H,= 2,8o3o9 loÿ(t 4- r) = 0,0239381 5
. = o,oo38o8
Celle dernière valeur est encore approchée par excès. On est conduit à prendre r = o , o56, en conservant les chiffres communs aux deux dernières valeurs. Le second membre de l'équation (i) devient alors o,o56 comme le premier.
logo =4,07868 ^=0,059931
I»? . "r—, ~ 3 , 59445 " ,; = o,oo393i
O , o56ooo
Équations transcendantes.
274. Reprenons, pour terminer, l’équation (1) X — tangx =0, » '
d^à considérée au n° 260.
Nous avons vu que cette équation avait une infinité de racines réel' et nous avons déterminé la plus petite des racines positives { zéro excepté). Cherchons une formule qui permette d’obtenir facilement une racine de rang quelconque.
Nous avons remarqué que l'extrémité de chaque arc racine tombait dans un quadrant de rang impair, de sorte que la (n-f-i)'""' rarino était
moindre que42n-l- i)-- S 2
En désignant par« 2 la distance de l'extrémité de la racine chercliée à
COMPLÉMENT d’algèbre.
l’extrémité du quadrant correspondant, on peut donc écrire
TT
(a) ( an 4- 1)- = X 4- a.
On en déduit
tangir = tang|^(2/>-|-i) ^ — a J = cote Mais Téqualion ( i ) donne lang x = x. Par suite,
: ou tanga = -•
tanga ” X
tanga
Revenant à l’équation (2), on aura donc
