CF < CC + CF

On aura aussi EA <; EC -|- CA, EB <( EF -t- FB. On en déduit EA -t- EB<i CF -t- CA -t- FB. Si l’on remplace alors CF par la quantité plus grande CC -f-CF, on aura à fortiori

EA + EB<C\ t- CB.

I ü CÉOMÉTIUB.

16. Il y a considérer dans un triangle six élémetus : trois côtés et trois angles. Il suffit que trois de ces éléments soient égaux dans deux triangles, pour que ces triangles soient égaux : il faut seulement que parmi ces éléments égaux il entre au moins un côté. Nous aurons donc à démontrer les trois cas d’égalité suivants :

17. i“ Deux triangles sont égaux, lorsqu’ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun

Supposons que l’angle C' soit égal a 1 angle t, et qu on ait A'C'=AC, C'B' = CB. L’égalité géométrique, c’est, comme

nous l’avons déjà dit , la coïncidence possible. Les deux angles G' et C étant égaux, on pourra porter le triangle A'B'C' sur le triangle ABC, de manière que ces angles coïncident. Les droites A'C' et AC, C'B' et CB, auront alors la môme direction, et comme on a A'C'= AC et C'B' = CB, les sommets A et A', B et B', coïncideront. Les deux triangles considérés ayant mêmes sommets se recouvriront parfaitement et seront égaux.

18. 2® Deux triangles sont égaux, lorsqu’ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun [Jig, i4 )•

Supposons qu’on ail AB = A'B', et que les angles A et A', B et B', soient égaux. On pourra porter le triangle .\'B'C' sur le triangle ABC, de manière que A'B' coïncide avec AB; si les deux triangles tombent alors dans le même sens par rapport au côté commun, A'C' jirendra la direction de A(^ puisque l’angle A égale l’angle A'; B'C' prendra la direction de BC, puisque l’angle B égale l’angle B'. Le point d’intersection C' des côtés A'C' et B'C' coïncidera donc avec le point d’intersection C des côtés AC et BC. Les deux triangles considérés ayant mêmes sommets se recouvriront parfaitement et seront égaux.

19. 3“ Deux triangles sont égaux, lorsqu’ils ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun.

Pour démontrer ce théorème, nous nous appuierons sur le lemme suivant ;

Lorsque deux triangles ont deux côtés égan.v chacun à chacun comprenant des'angles inégaux, les troisièmes céytés sont inégau.v. et le plus grand est opposé au plus grand angle [Jig. ô).

Fig. iS.

GÉOMiTRlE. 1 I

On peut toujours placer les deux triangles proposés de manière qu’ils aient le côté commun A(] et que les deux autres côtes AB= AD tombent de part et d’autre de ce côté commun. Supposons l’angle BAC plus grand que l’angle CAD, il faut prouver que le côté BC est plus grand que le côté CD. Pour cela, je mène la bissectrice AI de l’angle total BAI) : elle sera dans le plus grand angle BAC et coupera BC au point I. Joignons ID. Les deux triangles BAI, lAD, seront égaux d’après le premier cas d’égalité (17) , et l’on en conclura BI =ID. Le triangle ICD donne d’ailleurs CD < IC -l- ID, c’est-à-dire CD IC -H IB ou que BC.

Revenons au théorème proposé et à la Jig. i4- Supposons qu’on ait, dans les deux triangles .\BC, A'B'C', AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C'. Il faut nécessairement que l’angle C soit égal à l’angle C', sans quoi AB ne serait pas égal à A' B' d’après le Icmme précédent. On rentre donc dans le premier cas d’égalité (17), et les triangles proposés sont bien égaux.

On peut remarquer, d’après les propositions qu’on vient d’établir, que lorsque deux triangles sont égaux, les .côtés égaux sont toujours opposés à des angles égaux, et réciproquement.

20. On entend par triangle isocèle un triangle qui a d<?ux côtés égaux. La base d’un triangle isocèle est le côté qui n’a pas d’égal. La perpendiculaire abaissée du sommet opposé sur la base est la hauteur du triangle.

Dans tout triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux [fig- i6).

Je joins le sommet C au milieu de la base AB : les deux triangles ACD, D(Æ, sont égaux d’après le troisième cas d’égalité (19) : les angles A et B opposés au côté commun CD sont donc égaux.

Un triangle qui a tous ses côtés égaux est appelé équilatéral. On voit qu'il a en même temps ses trois angicç égaux, c’est-à-dire qu’il est équiangle.

L’égalité des triangles ACD, DCB, prouve que la droite CD est la bissectrice de l’angle C, et qu’elle est perpendiculaire sur le milieu de AB. La droite CD remplit donc quatre co/i<////ons.elle passe parle sommet C, par le milieu D de la base AB, elle est la hauteur du triangle isocèle, elle est la hisse» Irice de l’angle au sommet. Deux points ou deux rouflitions siiflisr.nt pour

GÉUMÉTH1E.

la

délermiiier une droite, dès qu’une droite remplira deux des quatre conditions énoncées, elle remplira nécessairement les deux autres.

21. Lorsqu’un triangle a deux angles égaux, il est isocèle, et les côtés égaux sont opposés aux angles égaux.

Soit le triangle ABC dans lequel l’angle A cstégalà l’angle B; soit un triangle A'B'C', reproduction du triangle ABC [fg. 17). Je

Fi(! 17.

ront malgré le renversement égal à BC se confondant alor?