TT I

(2/14-1) - = X -I- arc lang “ •

On peut développer en série arc tang - d’après une formule connue (lfi8 ). Il viendra donc

et si l’on désigne par a la quantité constante (iw 4- 1) - > on pourra isoler X dans un membre et poser

Cette équation se prête immédiatement au calcul par approximations successives.

La première valeur approchée de x sera x= a , la seconde x = n— - •

La troisième s’obtiendra en remplaçant x par “ — ^ dans lo second et le

troisième terme du second membre de l’équation (3), et en négligeant tous les autres termes; cette troisième valeur sera donc

Si l’on effectue les divisions, en négligeant tous les terrées qui renferment «*, il viendra

Pour avoir une quatrième valeur approchée de x, on substituera la valeur précédente dans le second membre de l'équation (3). On négligera tous les termes du second membre qui contiennent x’, et l’on effectuera les divisions indiquées dans les autres termes, en négligeant aussi touÿ

6a8 COMPLÉME^T d'algèbbe.

les termes des différents quotients obtenus, qui renferment a\ Il viendra

r a i3 ti 3 ff" 1 5 O*

On pourra calculer de même le cinquième, le sixième terme de la série, etc.

Pour avoir alors les différentes, racines, à partir de la seconde, il suffira de remplacer a p»ar sa valeur (an + i) ^ et de substituer les nombres I, a, 3, etc., à la place de n. •

275. £n résumé, pour résoudre une équation numérique, on commencera par séparer les racines, en procédant par substitutions régulièrement espacées.

La racine cherchée étant ainsi obtenue à o,i ou à o,oi près, on en approchera davantage par interpolation ou en appliquant la méthode de îiewton.

Quand la. forme de l’équation le permettra, il sera souvent avantageux d'employer directement et isolément la méthode des approximations successives. •

Dans tous les cas, le degré d'approximation atteint, devra être soigneusement vérifié.

QUESTIONS PROPOSÉES

1° Résoudre l’équation

yoa:* — i4«>x’ gox* — aox-)- i = o.

(x, = o,or>943aj o,33ooog, x, = 0,669991, x, = o,93o568. ) a" Résoudre l'équation

(4 — 3x*) sinx— 4 xcosx= o.

(Cette équation a une infinité de racines réelles, la plus petite racine positive est o, la seconde est a, 563434.)

3“ Partager un dcmi^rcrcle en deux parties équivalentes, par une corde menée de l’extrémité du diamètre qui lui sert de base.

4“ Partager l’aire d'un cercle en trois parties équivalentes, par deux cordes menées d’un môme point de sa circonférence.

.5“ Résoudre l’équation x sin i x = 1 .

6° Résoudre l’équation x’ = e ,(x = 3,644174.)

COMPLÉMENT d’aLCÈBRE. 629

7* Résoudre l’équation x — <r sin x = ni. •

(r = 0,a453i6i5, ni = 39.9” 44' »7’i66. 41

On doit trouver x= 32o“5a' i5',5a);- , ^

8“ Résoudre l’équation ^ •

9° Déterminer la plus petite valeur qu’on puisse do^^cr à </, pour que l’équation ’

+ e~* — lïx = O-

soit possible. , ^ ' .

10° Trouver le nombre des racines relies qu’admet l’équation x=Asinx + B,

pour chaque système do valeurs des CoclTicients A et B, et effectuer la séparation de toutes ces racines. Application à l’équation

X = 3i4a sinx -4- 167 {*).

(Concours de l’École Polytechnique, 1857.) ,

(*) On pourra coniulter sur cette dernière question un article publié par M. Ch. Bourgeois, dans le tome XIX des NoitvelUi Annalet, p. i3o.