TRISECTION DE E A.NULE

Nous avons trouvé ( Trig. , 23 )

cos 3 « ^ 4 cos* fl -- 3 COS <1.

Cette relation, qui exprime la liaison qu'i existe entre le cosinus de l’arc

simple et celui de l’arc triple, peut s’écrire, en remplaçant a par

le I

s ro.«n = 4c06*.Kfl*^3COStfl.

«O^TES. J- 6‘3l

Si l'on donne cosa = b et si l’on demande wajn = jt, la question sera

ramenée à la résolution de l’équation

Cette équation a ses trois racines réelles (Complément (PAlg., 217), la condition 4- <o revenant ici à

On peut obtenir ces trois racines comme il suit. Tous les arcs qui ont un cosinus donné sont compris dans 1a loriîrùl'é j[ Trig., 8^

»Kir'±a,

a étant l’arc qui, dans les ^eux premiers quadrants, 'a* pour cosinus la valeur proposé. Les valeurs de x seront donc toutes les valeurs différentes renfermées dans l’expression

cos

K représentant un entier quelconque, positif ou négatif. Mais n un entier quelcpiiqae, K no peut affecter que les trois forbes

On aura dune pourracines :

COS ( a/ir 1 = cos±

;os

cos(^a«r4-3-±3j =

cos ( 2wr4- — ± ^ 1 =

obtenues, deux iy.diqjito^^les, se truisjgrvantes

\ cos 5 J cos

a\ { it: a\

' D'après ceia||irenun^M = ^ ®l' forions le triangle ê^fllîiiéral'M^. On aura

^ 'tÿ y>erj>cndiii^ires M;«, N/i, P/>, abaisser*

■ degjsdl^^i^^u’ triangle équilatéral sur lq^^^

DIgitizi

HOTES

diamètre BB' perpendiculaire à AA', représenteront, prises avec les signes convenables, les racines de l'équation

Comme la somme de ces racines est nécessairement nulle ( Comptée ment tPÀlg., 182), on en déduit ce théorème de géométrie ; Si des trois sommets d’un triangle équilatéral , on abaisse des perpendiculaires sur un diamètre quelconque du cercle circonsçrit, la somme des deux perpendiculaires situées d’un meme côté de ce diamètre sera égale à la troisième perpendiculaire située de Vautre côté.

On voit sur la figure qu’il y aura deux racines positives et une négative

si ^ est > 5 ou a > - • et deux racines négatives et une positive si \ 3 6 '2 ^

est < - du a < : ce qui concorde avec le siime que prend alors le

terme constant de l’équation (Complément t^’Alg., 182).

Les valeurs aCsolues des racines de même signe sont l’une plus petite,

l’autre plus grande que -• En effet. Mm et représentent les sinus de

TT ^

deux arcs dont la somme est -• L’un de ces arcs étant plus grand que

. TT i

l’autre sera plus petit. Par conséquent, si Mm surpasse sing.ou ->

Vp tombera, au-dessous. La troisième racine N«, étant en valeur absolue

égale à la somme des deux autres, sera plus grande que

D’après cela, b désignant le cosinus d’un arc donné A, on saura im’mé-

dialoment quelle est la racine qui représente cos y ■*

En suivant une marche analogue à celle qu'oii vient, d'indiquer, étant donné sin a, on pourra trouver sin a. La formule

sin 3<i c= 3 sin rt — 4 sm' «

devient, lorsqu’on remplace a par

sm« = 3sm^rt — éstn'-n.

d ou, en posant sinn = A et sin

équation qui ne différé de la précédente que par le signe de b, et qu on traitera de la même manière. " \

\t La question examinée fournit une méthode. pOtir la’ résolution du cas 'irréductible de l'équation efn trrûflèmr degré ( C omplémcnt d'Alg., 21W).

NOTES

Toute équation du troisième degré peut se ramener à la forme

Les coefficients p et q sont supposés réels.

Nous venons de voir que l’équation

avait pour racines

a /are ,a\^ / iir a\

Si l’on arrive à pouvoir ident{^ les deux équations considérées, le problème sera résolu. . .

Je pose i = px. L’équation fi) pciit aîors s’écrire

Il y aura donc coïncidence si l'on détermine p d’une part, l’arc a de l’autre, de manière à avoir *

c'est-à-dire

p^ 3 7 cos g

= .et

•• COS a = .

\/(-îï

Pour que ces valeurs soient admissibles, il faut ’que p soit négatif, et que la valeur de cos a ou de cos’ g tombe au-dessous do i, co qui fournit la condition

Cette condition ne peut d’ailleurs être satisfaite que si p est < o. Si elle est remplie, les équations (i) et (g) se confondent, et la relation z = px conduit aux trois valeurs ^

déjà trouvées (Cnmfdément d’Alg., 219).