IV. — Des perpendiculaires et des obliques

2:1. Par un point pris hors d’une droite, on peut lui inenei une perpendiculaire, mais une seule.

Soit [^fig. 19) le point O par lequel je veux mener une perpendiculaire à la droite .\B. Je fais tourner la partie supérieure du plan autour de .\B jiis(|u’à ce qu’elle vienne se rabattre sur la partie inférieure, je marque la position ü' alors ticcupée par le point (ï. Je relève le plan, et je joins les points O et O' : 00' est la perpemlicnlaiia' ilemanriee; car un nou-

GÉOMÉTRIE. l3

veau rabatlcmenl onlraliierait la coïncidence des angles adjacents AtX) cl \CO' c’est-à-dire prouverait leur égalité.

Soit une autre droite quelconque ODE, je dis qu’elle est oblique à AB. En effet, les deux triangles OCD, O'CD, sont égaux d’après le premier cas d’égalité (17) : les deux angles ODE, O'DC, sont donc égaux. Mais l’angle O' DC est évidemment plus petit que l’angle EDC : son égal ODC sera donc plus petit que l’angle ADO qui est opposé par le sommet à l’angle EDC. OD faisant avec AB des angles inégaux, est oblique à AB. Une droite OD étant oblique à AB, toute perpendiculaire abaissée d’un point quelconque de OD sur AB Sera située dans l'aUgle aigu formé par OD avec^AB : si la perpendiculaire * à AB est élevée au point D, elle sera s|u contraire dans l’angle obtus formé par OD avec AB.

24. Si d'un point pris hors d’une droite partent une perpendiculaire et plusieurs obliques à cette droite, la perpendiculaire est la plus courte distance du point à la droite ; deux obliques également éloignées de la perpendiculaire sont égales ; de deux obliques inégalement distantes de la perpendiculaire , la plus éloignée est la plus grande [fig. ?o).

Soient le point O et la droite AB, considérons la perpendiculaire OC et l’oblique quelconque OD. La perpendiculaire tombera dans l’angle aigu formé par OD avec AB (23), c’cst-à-dire que si l’on compare dans le triangle OCD les côtés OC et OD, OC oppo.sé au plus petit angle sera le plus petit côte (22). La plus courte distance du point O à la droite AB est donc la perpendiculaire OC.

On dit que deux obliques telles que OD et OE sont également éloignées de la perpendiculaire OC, lorsque leurs pieds D et E sont cgalemeni éloignés du pied C de la perpendiculaire. Ces obliques sont nécessairement égales d’après l’égalité des triangles OI^D, OCE.

Soient enfin les deux obliques OD et OF inégalement éloignées de la perpendiculaire, parce qu’on a CF ^ (.D. On pourra prendre CE = CD, il en résultera OE = OD, et il restera à comparer OE et OF. Pour cela, j’élève au point E une perpendiculaire à AB ; elle sera située dansl’angle obtus OEA(23) et dès lors coupera OF au point G. Le triangle OGE donnent OE < EG 4- GO, et à plus forte raison OE < FG -i- GO, puisque

Fi" 19

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GÉOMÉTillE.

EG esV une perpendieulaire el FG une oblique à AB. On aura donc OE <; OF, c’esl-à-dire OD < OF.

Les réciproques de ces propositions sont évidentes. En particulier, lorsqu’une droite OC est la plus courte distance du point O à la droite AB, elle est perpendiculaire sur AB.

23. Le lieu géométrique de tous les points d’un plan A égale distance des extrémités d'une droite, est la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette droite [fig. 21).

On entend par Heu géométrique une série de points jouis- * sant d’une certaine propriété commune, à l'exclusion de tous les autres points du plan.

Soit la droite XY perpendiculaire sur le milieu de AB. Je prends un pointÿ quelconque sur XY, et je le joins aux points A et B. Les obliques CA el CB seront égales, comme également éloignées de la perpendiculaire (2i).

Je prends un point D quelconque hors de XY, el je le joins aux points A el B. DA coupera XY au point C, el d’après la remarque qui précède, on aura CA = CB. Le triangle DCB donne d’ailleurs DB<I)C-(-CB, c’esl-à-dire DB<;DC-|-CA ouDB<DA.

Les points pris sur la perpendiculaire sont également distants des extrémités A et B; les points pris hors de la perpendiculaire sont inégalement distants des mêmes extrémités : la perpendiculaire XY constitue donc bien le lieu géométrique indiqué.

Deux points suffisant pour déterminer une droite , dès qu’une droite XY aura deux de ses points à égale distance des extrémités d’une droite AB, elle sera perpendiculaire sur le milieu de AB.

Fie. 2’ ■

26. On entend par triangle rectangle un triangle dans lequel il y a un angle droit : le côté opposé à l’angle droit est V hypoténuse du triangle. Les cas spéciaux d’égalité des triangles rectangles sont les suivants.

I” Veux triangles rectangles sont égaux, lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal.

Soient les deux triangles rectangles ABC , A' B' C' {Jig. 22), dans lesquels on a BC = B'C' el l’angle B égal à l’angle B'. Je por-

Fig. 31.

CiOMÉTIllE. l5

terai les deux triangles l’un sur l'autre, de manière que B'C' coïncide avec BC ; en vertu de l’égalité des angles B' et B, B' A' prendra lu direction de BA, et le point A' tombera au point A ; car les perpendiculaires abaissées des points C' etC, qui n’en font plus qu’un seul, sur les droites B' A' et B A qui coïncident, devront se confondre (23).

a“ Deux triangles rectangles sont égaux ^ lorsqu’ils ont V hypoténuse égale et un côté de l’angle droit égal [Jig. aa).

Je suppose maintenant BC = B'C' et CA = C'A'. Je porte les deux triangles l’un sur l’autre, de manière que C'A' coïncide avec CA. L’angle A' étant égal à l’angle A, A' B' prendra alors la direction de AB et le point B' tombera au point B; car les obliques égales BC et B'C' doivent s’écarter également de la perpendiculaire CA.

27. La bissectrice d’un angle est le lieu- géométrique des points du plan à égale distance des côtés de l'angle.

Soit l’angle BAC [Jig. a3) et soit AD sa bissectrice. Prenons J un point O quelconque sur cette bissectrice,

’ ■ et abaissons de ce point les perpendiculaires

J OE et OF sur les côtés AB et AC. Les deux

/ \ triangles rectangles AOE, AOF, seront égaux

/ \ (26, i"), et l’on en déduira OE = OF: donc

tous les points de la bissectrice sont égaleg / O \c ment distants des côtés de l'angle.

Supposons maintenant que le point O soit un point du plan, tel, que les perpendiculaires OE et OF abaissées de ce point sur les côtés de l’angle soient égales. En joignant AO, on formera deux triangles rectangles AOE, AOF, qui seront égaux (26, a"). On en déduira l’égalité des angles EAO, FAO, c’est-à-dire que AO se confondra avec la bissectrice de l’angle BAC : donc tous les points également distants des côtés de l’angle sont sur la bissectrice.

La bissectrice de l’angle est donc bien le lieu géométrique indiqué.