V. — Des parallèles

28. Lorsque deux droites situées dans un même plan ne sc Fig. ^4 rencontrent pas, si loin qu’on les prolonge, on s dit qu’elles sont parallèles.

Deux droites, DE, FG, perpendiculaires à ’ une même droite LM {Jig. 24 ). sont parallèles;

L— Iji car d’un point pris hors d’une droite, on ne

peut abaisser qu’une seule perpendiculaire sur ' cette droite.

“ ►' Si l’on veut, par le point L, mener une parai- ,

léle à la droite FG , on abaissera donc LM perpendiculaire

GÉOMÉTRIE

sur FG Cl, par le poinl L, on mènera DE perpendiculaire sur LM.

!\ous admettrons comme évident que, par un point pris hors d’une droite, on ne peut lui mener qu’une parallèle. 11 en résulle que, si une droite en renconlre une autre, elle rencontre aussi toutes les parallèles à celle autre.

29. Lorsque deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

Soient les parallèles DE, FG 24 ). Soit LM perpendiculaire sur FG. Si l'on menait au poinl L une perpendiculaire à LM, celle pcrpendiculrire serait parallèle à FG : elle se confondra donc nécessairement avec la parallèle DE (28).

• Il résulte de ce que nous venons de ■ dire, que deux droites parallèles à une

^ ^ troisième sont parallèles entre elles.

Soient [fig: z5) les deux droites AB et

^ ^ CD, parallèles à la même droite EF. Soit

E ! I LM perpendiculaire à EF : les deux droites

|m AB et CD seront aussi perpendiculaires

a LM, cl dès lors parallèles.

30. Lorsqu’une sécante rencontre deux droites quelconques, elle forme avec ces deux droites huit angles auxquels on a donné des noms particuliers.

Soient les deux droites AB, CD, cl la sécante EF (Jig. 26) : quatre angles seront formés autour du poinl G, quatre autour du point H.

Les angles compris entre les droites AB et CD sont des angles internes, les angles extérieurs à ces droites sont des angles externes.

Les angles internes non adjacents situés de part cl d’autre de la sécante sont des angles alternes-inlernes : par exemple , les angles AGH, DHG.

Les angles externes non adjacents situés de part et d’autre de la sécante sont des angles altemes-externes : par exemple, les angles AGE, l)HF.

Deux angles situés d’un même côté de la sécante, l’un interne, l’autre externe, mais non adjacents, sont des angles internes-externes ou correspondants : par exemple, les angles BGH, DUE.

Les angles tels que BGH, DHG, sont des angles internes d'un même côté ; les angles tels que BGE, DHF, sont des angles externes d'un même côté.

I.orsque les deux droites AB et CD sont parallèles, les angles

Fiç. 26.

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GÉOMÉïniE. 17

formés par res droiles avec la sécante EK jouissent de propriétés importantes.

31. Lorsque deux parallèles sont rencontrées par une sécante, les quatre angles aigus formés sont égaux entre eux, ainsi que les quatre angles obtus [fig. 27).

Soient L et M les points d’intersection de la sécante III avec les parallèles ED et GF. Far le point K, milieu de LM, je mène AB perpendiculaire sur ED et sur GF. Les deux triangles rectangles KDL, KFM, sont égaux (26. i“) : il en résulte l'égalité des angles KLD, KMF.

Par conséquent, les angles aigus en L étant égaux comme opposés par le sommet, ainsi que les angles aigus en M, les quatre angles aigus formés autour des points L et M sont égaux entre eux. Les quatre angles obtus formés autour des memes points sont aussi égaux entre eux, comme suppléments des angles aigus.

Si nous remarquons maintenant que deux angles allernesinternes, alternes-externes ou correspondants, sont à la fois . aigus ou obtus, tandis que deux angles internes d'un même coté ou externes d’un même côté sont l’un aigu et l’autre obtus ; nous pourrons dire que, lorsque deux parallèles sont rencontrées par une sécante :

I® Les angles alternes-internes, les angles alternes-externes, les angles correspondants, sont égaux;

a® Les angles internes d'un même côté , les angles extemêx d'un même côté, sont supplémentaires,