OU

AOB AB i'*'^ 11"

Le premier membre de l'égalité exprime la mesure de l’angle .

AOC, le second membre exprime la mesure de l’arc AC. Le même nombre abstrait représente donc bien les deux mesures.

Si l’on dit souvent qu’im angle a pour mesure son arc, c’est seulement pour abréger le discours. On doit dire : la mesure de l'angle est égale à celle de Varc qu’il intercepte.

Pour faciliter l’expression des arcs, on a divisé la circonfé- . rence en 36o parties égales appelées degrés; chaque degré, en 60 parties égales appelées minutes; chaque minute, en 60 parties égales appelées secondes. Le quart de la circonférence renferme 90 degrés ou 54oo minutes ou 324000 secondes. On indiquera un arc de 3a degrés a5 minutes 27 secondes, en écrivant 32® 26' 17".

Un angle de 3a® 25' 17" sera alors un angle qui intercepterait un arc de 3a® 25' 17" sur une circonférence décrite de son sommet comme centre avec an rayon qnel~ conque. Pour comparer cet angle à l’angle droit, il faut comparer 32° 25' 17" à 90®. Pour effectuer celte comparaison, on 11. 3

Fin. 57. ■

GÉOMÉTRIE

devra exprimer en secondes le nombre complexe 32"-25' 17" et remplacer 90“ par 324000". On trouvera ainsi pour le rapport cherché ' ' •

65. On appelle angle inscrit un angle formé par deux cordes qui se coupent en un même point de la circonférence.

La mesure d'un angle inscrit est égale à la mesure de la moitié de l'arc compris entre ses côtés.

Nous distinguerons trois cas [Jig.5S]. Le centre de la circonférence pourra tomber sur l’un des côtés de l’angle. Soit, par exemple, l’angle ABC. Joignons OA. Le triangle AOB sera isocèle, et l’angle .A sera égal à l’angle B. L’angle AOC extérieur au triangle AOB, étant égal à la somme des deux angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents (37), sera égal au double de l’angle ABC. Comme angle au centre, l’angle AOC a la même mesure que son arc AC ; l’angle ABC, qui en est la moitié, aura donc pour mesure celle de la moitié de l’are AC(63).

Supposons que le centre de la circonférence tombe entre les deux côtés de l’angle, et considérons l’angle ABD. On mènera par le sommet B le diamètre BC. L’angle ABI) étant la somme des angles ABC, CBD, sa mesure sera égale à la somme de leurs mesures. Elle sera donc encore la même que celle de , la moitié de l’arc Al).

Enfin, si le centre est extérieur à l’angle considéré ABE, on mènera encore le diamètre BC. L’angle ABE étant la différence des angles EBC, .ABC, sa mesure sera égale à la différence île leurs mesures, c’est-à-dire à celle de la moitié de l’arc AE.

La mesure de l'angle formé par une tangente et une corde aboutissant au point de contact, est égale à la mesure de la moitié de l’arc sous-tendu par la corde [Jig. 59).

Soit l’angle BAC. Par le point C, menons CE parallèle à la tangente BI) : les arcs AC et AE seront égaux (57). Les angles BAC, ACE, sont d'ailleurs égaux comme alternes-internes (31). La mesure de l’angle BAC sera donc égale à la mesure de l’angle ACE, c’esi-à-dirc qu’elle sera égale à celle de la moitié de l’arc AE ou de son égal AC.

La moitié de l’arc AC correspondant à la mesure de l’angle BAC, la moitié de l’arc AEC correspondra à celle de l’angle supplémentaire CAD; car la somme des mesures de deux

KiR. .S9.

GÉOMÉTRIE. 35

angles su|)plénicntaires iloii èire égale a In mesure de' deux angles droits ou a une demi-circoiiféreuee.

On appelle segment lu portion de surface circulaire comprise entre un arc et sa corde : a clia(|ue corde correspondent deux segments. Tons tes angles inscrits dans un nu^me segment, c est-à-dire ayant leurs sommets sur l’arc <lu segnumt et leurs cotés terminés à sa corde, sont égaux. Kn effet, tous les angles tels que ACH, ADIt, AEIt, correspondent au même arc J'n- Torsqne le segment considéré est un demi-cercle, les angles inscrits sont droits, puisrpie leur mesure correspond au quart de la circonférence. Suivant que le segment considéré est plus petit ou plus grand qu’un demi-cercle, les angles qui y sont inscrits sont ohtns ou aigus, puisque leur mesure est alors plus grande ou plus petite que celle d’un angle droit. On dit qu’un segment de cercle est capable d'un angle donné, lors(|ue les angles inscrits dans ce segment .sont égaux à l’angle considéré.

CG. I.a mesure de F angle formé par deux sécantes qui se croisent à l’intérieur de la circonférence, est égale à la somme des mesures des arcs interceptés par les côtés de l'angle et leuis prolongements [fig. 6i ).

Soit l’angle HAC. Ses côtés interceptent l’arc BC, ses côtés |)rolongés interceptent l’arc l>E. Joignons CI). I.’angle BAC extérieur au triangle CAI), est égal à la somme des deux angles intérieurs D et C. Sa inesure sera donc égale à la somme des mesiiVesde ces deux angles. Elle équivaudra doue à la moitié de l’arc BC, augmentée de la moitié de l’arc DE.

G7. La mesure de l’angle formé par deux sécantes qui se croisent à l’extérieur de la circonférence, est égale à la différence des mesures des arcs interceptés par les côtés de l’angle [fig. 62).

Soit l’angle BAC dont les côtés interceptent les arcs BC et DE. Joignons CD. L’angle BDC extérieur au triangle ACD sera égal à la somme des angles intérieurs A et C. L’angle BAC sera donc égal à la différence des angles BIX! et DCE. Sa mesure sera égale à la différence des mesures de ces deux angles, c’est-à-dire qu’elle équivaudra à la moitié de l’arc BC, diminuée de la moitié de l’arc DE.

Le théorème subsiste, l’une des sécantes ou toutes les deux devenant tangentes.

Fil». 60.

GÉOMÉTRIE

ü8. Lei angles opposés d'un (jii ad ri la 1ère inscrit dans une circonférence sont supplémentaires.

On dil qu’un quadrilalère est incril dans une circonférenre, lorsque ses quatre sommets sont sur cette circonférence. Soit le quadrilalère ABCI) [Jig. 63). La mesure de l’angle A correspondra à la moitié de l’arc Bt;D (ü5), celle de l’angle C correspondra .à la'moilié de l’arc BAD. La somme des mesures des deux angles A et 0 équivaudra donc à une demi-circonférence, c’est-àdire que ces angles sont supplémentaires.

La réciproque de celte proposition est vraie, fout quadrilatère dans lequel deux angles opposés sont supplémentaires, est inscriptible. Sujiposons que les angles A et C remplissent celte condition. Si l’on fait passer une circonférence par les trois sommets U, A, B, je dis qu’elle passera par le quatrième sommet C. S’il n’en était pas ainsi, la mesure de l’angle C serait plus grande ou plus petite que celle de la moitié de l’arc BAI) (ÜG, 67); cet angle ne serait donc pas le supplément de l’angle A.

V. — Prol)Ièmeg graphiques sar la ligne droite et la circonférence

de cercle.

69. Résoudre graphiquement un problème, c’est construire certaines ligures devant satisfaire à des conditions déterminées. L’exactitude de la solution dépend de rexactilude des constructions. Ün n’emploie dans ces sortes de constructions que la ligne droite et la circonférence de cercle, c’est-à-dire que les lignes qu’on peut tracer à l’aide de la règle cl du compas.

Nous ne dirons rien de l’usage et de la vérification de ces instruments, bien connus du lecteur. Nous ferons seulement remarquer qu’on doit toujours éviter de déterminer un point par l’intersection de deux lignes se coupant sous un angle trop aigu. Dans ce cas, en effet, par suite de l’épaisseur des lignes tracées, elles semblent coïncider dans une étendue plus ou moins grande, et il y a incertitude sur la position du point cberché.

Les problèmes très-simples que nous allons traiter, servent de base à la solution graphique de la plupart des problèmes de géométrie.