C onstruire un angle égal à un ari{;le donné [fig
Soit l’angle donné A. Du
sommet .V comme centre, je décrirai entre les côtés de cet angle un arc DE. Je tracerai une droite BC et, du point B comme centre, avec un rayon égal à AD, je décrirai l’arc de
' Kii;. 6S.
céomi!;trie-
cercle indéfini FG. Sur cel arc. à partir du point F, je porterai une ouverture de compas FH, égale à la corde DE. L’angle II BF sera égal à l’angle donné, d’après l’égalité des arcs FH, DE ((>3).
Cette construction permettra de trouver le troisième angle d’un triangle, quand on connaîtra les deux autres.
71. Conslrnire un triangle, connaissant un angle et tes (leux côtés (jui le comprennent {^fig. 65).
Fis, Ci On donne l’angle C et le^ cô-
tés a et b. Je construis un angle, égal à l’angle C, je prends sur les côtés de cet angle, à partir du sommet C, des longueurs égales aux côtés « et b. Le triangle ACB sera évidemment le triangle de- ■” .
mandé. On aurait pu renverser l’ordre dans lequel on a porté les côtés fl et 6 : on aurait obtenu le même triangle retourné. •
72. Construire un triangle, connaissant un côté et deux angles [fg. 66).
On peut toujours supposer que les deux angles donnés B et C sont adjacents au côté donné a (37), Je prends une
Fig. C6.
BAC sera le triangle demandé.
longueur BC égale à a. Au point B, je fais un angle ABC égal à l’angle donné B; au point C, un angle ACB égal à l’angle donné C. Les deux droites B.\ et C,\ se couperont au point A, et le triangle
On aurait pu renverser l’ordre dans lequel on a construit les angles B et C, c’est-à-dire faire l’angle C au point B, et l’angle B au point (' : on aurait obtenu le même triangle retourné.
Pour que le problème soit possible, il faut que la somme des angles donnés B et C soit inférieure à deux angles droits (37).
Ti.. Construire un triangle, connaissant ses trots côtés
Soient a, b, c, les trois côtés donnés. On prendra une longueur BC égale à a. Du point B comme centre, avec un ravon Fig. r>7, égal à c, on décrira uft arc
de cercle. Du point C com-
^ centre, avec un rayon
I y décrira un au-
/ \ Ire arc de cercle. Si les trois
roiés ilonnessonl bien ceux d’un Iriangle, le côté a scia plus petit que la somme des
•ïv.
GÉ.OMÉTRIE.
cùlés b (*l c et pins grand que leur différence (15), c’est-àdire que la distance des centres des deux arcs sera plus petite que la somme de leurs rayons et plus grande que la différence de ces mêmes rayons ; ces deux arcs se couperont donc (60, 3”) en un point A, qui sera le troisième sommet du triangle demandé.
Les arcs de cercle se couperont aussi au-dessous de la ligne des centres ^Jig. 68), en un point A', et le triangle A'BC répondra aussi à la question. La ligne AA', qui joint les deux sommets A et A', sera coupée perpendiculairement par BC en deux parties égales (59). On dit alors que les deux triangles ABC, A'BC, sont symétriques. Si l’on échangeait les rayons c et 6, on obtiendrait deux nouveaux triangles A,BC, .A', BC, symétriques par rapport à Bt], qui ne seraient que les triangles ABC, A'BC, retournés. On peut remarquer que les quatre triangles BIIC, AHAi, BH'C, A'H'.V,, seront nécessairement isocèles. La perpendiculaire 11' élevée au milieu O de BC, passera donc par les milieux 1 et 1' des droites AA,, A' A',, parallèles à Bl'. Les sommets A et A,, A' et A',, seront donc deux à deux symétriques par rapport à la perpendiculaire élevée sur le milieu de BC. Lorsque deux ligures planes quelconques ont, comme les deux triangles BAC, BA'C, leurs sommets symétriques par rapport à un même axe, elles sont égales, c’est-àdire qu'elles peuvent coïncider, comme les deux triangles désignés, par renversement ou rotation autour de l’axe.
74. Construire un triangle, étant donnés deux côtés- et l’angle opposé à l'un d’eux.
Soient donnés les cotés ê et n et l'angle B. Le côté b peut être plus petit ou plus grand que le côté a; il peut lui être égal.
Supposons ô <( a. Je ferai [Jig. 69) un angle égal à l’angle donné B. Je prendrai sur l’un des cotés de cet angle une longueur BC égale à a. Du. point C comme centre, avec b pour rayon, je décrirai un arc de cercle qui coupera l’autre côté de l’angle en deux points A et A'. Les deux triangles BCA , BC.A', rempliront les
l’our que le problème soit possible ilans le cas considéré, il faut <|ue l’angle donné B soit aigu (37).
Si l’on avait b = CD, ( D étant la perpendiculaire abaissée du
Fig. Ch).
bi 1
OJ
conditions de l’énoncé.
Fig. G8
CÊOMÉTIUE. 39
point C sur le second côté de l’angle B, l’arc de cercle décrit’ du point C serait tangent au [second côté de l’angle, et il n’y aurait plus qu’une solution qui serait le triangle rectangle BCD.
Si 6 est > a (fif;. 70), le second point d’intersection A' se trouve rejeté au-dessous du point B, et le second triangle BCA' ne répond pas à la question, puisqu’il renferme le supplément de l’angle donné B au lieu de cet angle lui-méme. Dans ce cas, l’an- A gle B peut être obtus. S’il est droit, les deux solutions conviennent; mais elles n’en font I en réalité qu’une seule, parce qu’un triangle rectangle est déterminé lorsqu’on connaît son hypoténuse et l’un des côtés de l’angle
droit (26, 2“).
' Si b est égal à a, le second point d’intersection A' se confond avec le point B : il n’y a qu’une solution qui est le triangle isocèle B(JA.
Le problème n’est d’ailleurs possible dans aucun cas, lorsque le côté b est inférieur à la perpendiculaire CD, plus courte distance du point C au second côté de l’angle B.
En résume, un triangle n’est pas déterminé par la connaissance de deux de ses côtes et de l’angle opposé à l’un d’eux.
Il faut examiner les données pour savoir sUI n’y a qu’une seule réponse à la question.
