Reh'onver le centre d'une circonférence ou d'un arc de

Fig. 77- (A"- 77)-

On marquera trois points A, B, C, sur la circonférence ou l’arc donné; on obtiendra ainsi deux cordej AB et BC. On élèvera la perpendiculaire DE sur le milieu de AB, la perpendiculaire FG sur le milieu de BC. Ces deux perpendiculaires se croiseront en un poinl O qui sera le centre cherché (53).

80. Par un point donné, mener une parallèle à une droite donnée.

Soient la droite BC et le poinl A {Jîg. 78). Par le point A,

Fig. 7«-

on mènera une droite quelconque AC qui vienne couper BC au point' C. On fera ensuite avec AC, en prenant le poinl A pour sommet, un angle CAD égal à l'angle ACB. AD sera la parallèle demandée, puisque les angles égaux formés sont allernes-iniernes par rapport aux droites BC, AD, coupées par la sécante AC.

On aurait pu aussi mener une droite quelconque telle que AH, et achever le parallélogramme ABCD dont les deux côtés adjacents AB, BC, comprennent l’angle ABC (73).

On aurait pu abaisser du poinl A une perpendiculaire AEsur BC (fig. 7g) ; puis, au poinl F, élever FD perpendiculaire sur BC. Si l’on prend FD égale à AE, le poinl D appartiendra à la parallèle menée par le poinl A à la droite BC(34).

On aurait pu encore prendre un point O quelconque sur BC [Jig- 79), et du poinl O comme centre, avec OA pour ra\on. décrire une ilemi-cireonféreiice arrêtée aux points B et C. Portant alors la distance BV de C en D, le

Fig- 7!)

4? GÉOMÉTRIE

point D appartiendra à la parallèle menée par le point A à BC{57).

81. On peut abréger toutes les constructions que nous venons d'indiquer à l'aide de Véquerre et du rapporteur. On pourra notamment, en se servant de l’cqucrre et de la propriété des .nngles correspondants, tracer très-exactement des parallèles. Nous n’entrerons dans aucun détail sur ces instruments, dont la pratique de l’art du dessin a dû rendre l'emploi familier à tous nos lecteurs.

82. Par un point donné hors d'un cercle, mener une tangente à ce cercle (Jig. 8o).

Soient le cercle dont le centre est 0, et le point A. Joignons OA et, sur 0.\ comme diamètre, décrivons une circonférence Fig. 8o. qui rencontrera forcément la circonfé-

rence donnée en deux points B et B'.' Les droites AB et AB' seront les tangen- ^ tes demandées. En effet, les angles OB.4 et OB'A sont droits comme angles inscrits dans une demi-circonférence. I.es droites AB, AB', sont donc perpendiculaires à l’extrémité des rayons OB, OB' (56).

Remarquons l’égalité des deux triangles rectangles OBA, OB'A. lis ont la même hypoténuse OA et OB=OB'. On en conclut l’égalité des deux tangentes ,\B et AB', et celle des deux angles O.AB, OAB'.

.Ainsi, par un point pris hors d'un cercle, on peut lui mener deux tarif'entes, ces tangentes sont égales, et elles sont également inclinées sur la ligne qui joint leur point de concours au centre.

83. Mener une tangente commune à deux circonférences données.

La tangente commune peut laisser les deux circonférences d’un même côté ou de côtés différents. Dans le premier cas, c’est une tangente commune extérieure ; dans le second, c’est une tangente commune intérieure.

1“ Soient les deux circonférences O et 0' et la tangente commune extérieure AA'. Menons les rayons OA et O'.A'. Ces rayons seront parallèles et, si l’on mène par le point 0' la parallèle O'B à AA', la figure O' A'AB sera un rectangle, de sorte que OB représentera la différence

Fig. Ri.

oéOMÉlKIE. 43

des deux rayons OA el O' A'. Par conscqneiU, si du point O cuninie centre, avec OB pour rayon, on décrit une circonférence, elle sera tangente à la droite O'B qui est parallèle à la direction de la tangente commune. Il en résulte immédiatement la construction suivante [Ji^- 81).

Du point 0 comme centre, avec la différence des rayons des circonférences données pour rayon, on décrira une circonférence. Du point O', on mènera à cette circonférence la tangente O'B. On prolongera le rayon OB jusqu’au point A où il rencontre la circonférence O et, par le point A, on mènera AA' parallèle à O'B : AA' sera la tangente commune demandée. Comme on peut mener par le point O' au cercle OB deux tangentes O'B et O'C, il y aura en général deux solutions AA' et DD'.

Le problème sera possible tant que le point O' sera extérieur au cercle OB, c'est-à-dire tant que la distance des centres des circonférences données sera plus grande que la différence de leurs rayons. Si la distance 00' est égale à la différence des rayons, le point O' se trouvera sur la circonférence OB et sur la ligne des centres : les deux solutions se réduiront à une seule, qui sera la tangente commune aux deux circonférences données, alors tangentes intérieurement.

Ainsi, deux circonférences extérieures l'une à l’autre, tangentes extérieurement ou sécantes, admettent deux tangentes communes extérieures. Deux circonférences tangentes intérieurement n’en admettent plus qu’une seule. Il n’existe aucune solution, lorsque les circonférences données sont intérieures l’une à l’autre.

2® Soient les deux circonférences 0 el 0' et la tangente commune intérieure EE'. Menons les rayons OE et O'B'. Ces

Fig. 8-j.

rayons seront parallèles et, si l’on mène par le point O' la parallèle O'F à EE', la figure Û'E'EF sera un rectangle, de sorte que OF représentera la somme des deux rayons OE et O'E'. Par conséquent, si du point O comme centre, avec OF pour rayon, on décrit une circonférence, elle sera tangente à lu droite O'F, qui est parallèle à la direction de la tangente commune. Il en résulte immédiatement la construction suivante [fig. 82).

Du point 0 comme centre, avec la somme des rayons des circonférences données pour rayon, on décrira une circonférence. Du point O', on niència à cette circonférence la lan-

44 GÉOMÉTRIE

gcnle O' F. Par le poinl E, où le rayon OF rencontre la circonférence O, on tracera EE' parallèle à O' F : EE' sera la tangente conunune demandée, (iomnie on peut mener par le point O' au cercle OF deux tangentes O' F et O'G, il y aura en général deux solutions EE' et Hll'.

Le problème sera possible tant que le point O' sera extérieur au cercle OF, c’est-à-dire tant que la distance des centres des circonférences données sera plus grande que la somme de leurs rayons. Si la distance 00' est égale à la somme des rayons, le point ü' se trouvera sur la circonférence OF et sur la ligne des centres : les deux solutions se réduiront à une seule qui sera la tangente commune aux deux circonférences données, alors tangentes extérieurement.

Ainsi, deux circonférences extérieures l’une à l’autre ad^ mettent deux tangentes communes intérieures. Deux circonférences tangentes extérieurement n’en admettent plus qu’une seule. Il n’existe aucune solution, lorsque les circonférences données sont sécantes, tangentes intérieurement ou intérieures l’iinc à l’autre.

Les deux tangentes communes extérieures se coupent en un même point situé sur la ligne des centres. En effet, elles se coupent, la somme des angles DAA', ADI)' {Jig.Sx) étant inférieure à deux angles droits ; et les points O et O' appartiennent à la bissectrice de l’angle qu’elles forment (27).

Les deux tangentes communes intérieures se coupent aussi en un même point S de la ligne des centres [Jig. 8a). En effet, elles forment deux angles opposés par le sommet, les points 0 et 0' appartiennent aux bissectrices de ces angles, et les bissectrices des angles opposés par le sommet sont en ligne droite ( IV).

Dans le cas des tangentes communes extérieures, si les rayons des deux circonférences données étaient égaux, la circonférence OU se réduirait à un point, et la tangente O'B, parallèle à la direction de la tangente commune, se confondrait avec la ligne des centres. Dans ce cas, les deux tangentes exté- «ieupes seraient parallèles à la ligne des contres. Quant aux tangentes intérieures, leur point de concours S serait au milieu de la distance des centres : c’est ce que prouve la comparaison des triangles OSE, O'SE' qui, dans le cas considéré, deviennent égaux. s.

On doit appliquer la méthode que nous avons employée pour résoudre la question proposée, toutes les fois qtt’on n’aperçoit pas rapidement la solution du problème. Cette méthode consiste à supposer te problème résolu, à tracer la ligure correspondanti', et à <>tudier sur celle ligure la liaison des doum'cs et dos inconmios.

Ou )iii, h'v C ^^ogl

GKOMÉTRIE. 4^

84. Dam tout quadrilatère circonscrit à une circonférence, les côtés opposés forment des sommes éi^ales [fi(:ç. H3).

On dit qn’iin ([nadrilalère est cirronsrrii à une circonférence, lorsque tous ses côtes sont tangents à cette circonférence.

Les tangentes issues d’un même point étaiH égales (82), on aura