AB + CD = AD+ BC

La réciproque est vraie. Supposons qu’on ait AB CD = AD + BC,

Je dis que le quadrilatère est circonscriptible ; c'est-à-dire que si l’on trace un cercle tangent aux trois côtés AD, AB, BC [le centre de ce cercle sera à la rencontre des bissectrices des angles A et B ^82)], sa circonférence sera nécessairement tangente au quatrième côté DC. En effet, s’il n’en était pas ainsi, on pourrait mener par le point D une tangente DI à cette circonférence. Le quadrilatère DABI étant circonscrit, on aurait à la fois

AB -t- Dl = AD 4- B1 et DC<DI-t-IC.

On en conclut, en ajoutant,

AB-t-DC<AD4-BC;

Fie «3.

ce qui est contraire à l’hvpotlièse.

85. Décrire sur une droite donnée comme ment capable d’un atif'le donné [fig- B4)-

corde, un seg-

On veut décrire une circonférence passant par les points A et B, et telle, que l’un des deux segments correspondant à la corde que ces points déterminent soit capable de l’angle donné.

Je mènerai par le point B une droite CD faisant au-dessous de AB un angle ABC égal à l’angle donné. J’élèverai BO perpendiculaire à CD et EO perpendiculaire à

AB, le point E étant le milieu de AB. Les droites Bü et EO se couperont nécessairement au point O. Du [»oint O comme centre, avec OB pour rayon, je décrirai une circonférence qui sera la circonférence demandée. En effet, la droite CD sera

46 OÉUMH^TME.

tangente à celte circonférence, el l'angle donné ABl' inira pour mesure la moitié de l'arc AB. Or tous les angles .AFB, inscrits dans le segment siipéiienr à AB, aiirmil aussi ponrinussure la nmilié de l'arc AB : ils seront donc égaux à l’angle ABC. et le segment AFB sera bien capable de l'angle donné.

Si l’on suppose une ilroite A B, el si l'on deninnile le lien "éométri ipte /les sommets des anirles épiii/x à un anple donné, dont les côtés passent constamment par les extrémités A et B, ce lien sera une circonférence décrite sur AB comme cor/le cl telle, /pte l’an des serments correspondants soit capable de\l'an^le /lonné. Kn efl’el, tous les angles inscrits dans ce' segment seront égaux a l'angle donné, et tous ceux doni le sommet sera intérieur ou cMérieur à la eireonlérence, avant une mesure plus grande ou plus petite ipie celle de l’angle donné (üO, 07 b seront plus grands ou jdiis petits ipie lui.

I.orsiiu’on veut rapporter sur une carte un |nunt remarquable M, on choisit trois points A, B, C, déjà mar(|ués sur ectle carte. On mesure, .à l’aide d’instruments spéciaux, les angles AMB, BMC. Kn décrivant sur AB el sur BC des segments capables des angles AAIB, BMC, on obtient deux lieux géométriques du point M. Ce point se trouvera donc sur la carte, au second point d’intersection des deux circonférences ipii ont déjà le point B commun {Jig- ^5],