AB “ DE BC ~ EF

88. La récipro(iiie Ay\ théorème précédent est vraie, c’est-àdire que si une droite divise deux côtés d’un triangle en parties proportionnelles, elle est parallèle au troisième côté

[fifî- 87)-

Soit le triangle ABC. Supposons que la droite DE divise les côtés AB cl .\C en parties proportionnelles : je dis (|ue DE sera parallèle au côté liC. En effet, si l’on menait par le point D une ])arallèle au côté BC, elle couperait le côté AC en parties proportionnelles à .AD et à DB. Le côté AC étant déjà di-

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visé au point E de celle manière, celte parallèle passerait nécessairement parle point E (815), c’est-à-dire (pi’elle se confondra avec la droite DE.

Si, dans le théorème direct (87), les sej?;menls AD et DB n'avaient pas de commune mesure, on aurait rticoursaii moile (le démonstration déjà indiqué (<>3).

89. La bissectrice de l’angle d'un triangle divise le côté: opposé en segments proportionnels aux côtés qui comprennent

Fin- «<)• l'angle [Jig. 89). ’

Soit le triangle VBf], soit BD la bissectrice de l'angle B : je dis qu’on aura

dc~'(;b’

Par le point C, je mène à BD la parallèle CE jusqu’à la rencontre de AB prolongé. On a alors dans le triangle \CE (87) ;

IL* — dc~be'

Considérons le triangle CBE. L’angle en C de ce triangle est égal à l’angle CBD, puisque ces angles sont alternesinlernes par rapport aux parallèles CE et BD coupées par la .sécante CB. De même, l’angle en E est égal à l’angle DBA, puisque ces angles sont correspondants par rapport aux mêmes parallèles coupées par la sécante EA. I.es angles CBD, DBA, étant égaux, il on est de même des angles en C et en E du triangle CBE ; ce triangle est donc isocèle, et l’on a BE;= CB.

On a donc bien

AD B ÜC CB‘

90. La bissectrice de l'angle 'extérieur d’un triangle coupe le côté opposé en un point dont les distances aux extrémités de ce côté sont proportionnelles aux côtés qui conipiennent l’angle intérieur adjacent (Jig. 89].

Considérons l'angle extérieur CBE et menons sa bissectrice BF. Je dis qu’on aura