AB AC AD “ AE
Par conséquent, DE sera parallèle à BC, le triangle ADE sera semblable au triangle ABC, et il en sera de même du triangle A'B'C',
céO.VÉTRIE.
07. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont leurs côtés parallèles on perpendiculaires chacun à chacun.
Noms avons vu (:5o, 3G) (jue deux angles qui avaient leurs eùlés parallèles ou perpendiculaires étaient égaux ou supplémentaires. Désignons les angles des deux triangles considérés par \ et A', B et B', Cet C'. On ne pourra faire sur les relations qui doivent lier ces angles deux à deux, que les quatre hypothèses suivantes ;
Cb
sa
La première hypothèse doit être riîjetée , la somme des angles des deux triangles ne pouvant être égale à six droits. Klle ne peut pas non |)lus être égale à quatre droits augmentés de d(Mix fois l’angle C : la seconde hypothèse est donc aussi inadmissible. La troisième hypothèse entraîne la condition A = A' : elle n’est donc qu’un cas particulier (celui où les triangles proposés sont ivctangles) de la quatrième hypothèse, qui est la seule viaie. I,es triangles considérés étant équiangles sont semblables (9o).
Il faut remarquer que les côtés proportionnels sont toujours, dans les triangles semblables, (q>posés aux angles égaux. Dans le dernier cas examiné, les côtés homologues sont parallèles ou perpetidiculaires entre eux.
98. Deux parallèles sont coupées en parties proportionnelles par une série de sécantes issues d'un même point [Jig. 94).
Soient les deux parallèles AD, EH, coupées par les sécantes OA, OB, OC, OD.
Les triangles OAB, OEF, sont semblables (93) et donnent
im ^1
OF ~ Ef‘
De même, la similitude des triangles OBC, OF(î, permet d’écrire
(^ BC ÔF ~ FC‘
On aur.i donc
AJl
EF ~ F(î
GÉOMÉTRIE
On proiiverail de la même manière i|ue IK: Cl)
. IT. T.ll’
lai réciproque de celle proposilioii esl vraie. Si les deux purtillèles \I), KH, sunl coupées proporlioiinéllemeiil pur une série de sécantes AK, RF, K(j, HH, ces sécantes aboutissent à un même point O.
Supposons que les deux droiUîs VEel K(î se reiieoiurenl on mi cerlain poinl O. On a par h^ polliése
^ BÇ
KF ~ F(i‘
Joignons OF : celli' ligne pmiongée devra couper AI] en parties proporlionnelles an\ .segments EF et F(i, d’après le théorème direct. Or AK esl déjà divisée de celle manière an poinl B; OF prolongée passera donc par le poinl R, c'est-à-dire qnc les trois points B, F, O, sont en ligne droite. On prouverait de même que HH prolongée passe par le poinl O.
99. Deux polyfrones semblables peuvent toujours se décomposer en un même nombre de trianf^les semblables et .semblablement disposés {Jig’Ç)l>)‘ Soient les deux polvgones semblables ARCHE, A'B'C'D'E'.
Fi(;. 93.
K\ à)- , prends un poinl O quelcon- V que dans l’intérieur du premier polygone, et Je le décompose en Iriangles en joignant ce iV poinl O à tous ses sommets. Il
faut déterminer dans le second polygone le poinl O', bomologue ilu poinl O. Pour cela, je fais en A', avec A' R', un angle égal à l’angle B.\0 et en B' un angle égal à l'angle ABO. Le triangle ,\BO et le triangle A'B'O' sont semblables (95), et le point O' est riiomologne du poinl O. Je joins le point O' à tous les sommets du polygone A'B'C'D'E'. Comparons les Iriangles BOC, B'O'C'. Los deux polygones étant semblables, l'angle B du premier est égal à l'angle B' du second; les deux triangles AOB, A'O'B', étant semblables par construction, l'aiigle .ABO esl égal à l’angle A'B'O'. L’angle OBC, différence des angles B et ABO, est donc égal à l’angle O'B'C', différence des angles B'el A'B' O'. La similitude des deux polygones entraîne l’égalité
