A'B'“SB

En coinpiirant les deux triangles SBC, SB' (7, on prouverait le

BC

j)ai-allélisme des côtés BC,, B'(7, et l’égalité des rapports SB

et etc. Les deux polygones ABCDE, A'B'C'D'E', ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens, auront toits

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38 GÉOMÉTRIE

leurs nngles égaux; ils auront, de plus, tous leurs côtés propoiTionnels : ils seront donc semblables.

Remarquons que les points A', B', C', etc., peuvent être pris' soit sur les côtés SA, SB, SC, etc., soit sur les prolongements de ces côtés : le point S s’appelle cenhv de similitude, les droites SA, SA', SB, SB', etc., sont les rnyons vecteurs des points A, A', B, B', etc. Lorsque les deux polygones sont du môme côte du point S, ils sont senddaldement placés; lorsqu’ils sont de part et d’autre du point S , ils sont inversement placés.

La léciproque du théorème qu’on vient de démontrer est vraie. Si deux polrppmes semblables ont leurs côtés parallèles,

les droites qui joignent les sommets homologues se croisent en un même point qui est le centre de similitude des deux polygones (Jig. 9'j).

Soient les deux polygones ABC DE, A'B'C'D'E', qui remplissent les conditions de l’énoncé. Joignons AA' et BB'. Soit S le point de rencontre de ces deux droites. Les deux triangles SAB, SA' B', seront semblables comme équiangles, puisque AB et A' B' sont parallèles, et l’on aura

AB

Joignons SC et SC', et comparons les triangles BSC, B'SC'. L’angle en B sera égal à l’angle en B', à cause des parallèles BC, B'C'. On aura d’ailleurs

AB BS A'B'~B'S’

par suite de la similitude des polygones. On aura donc aussi, d’après ce (|ui précède.

BC IW B'C' ~ B' S'

et les deux triangles BS(], B'SC', seront semblables, comme ayant un angle égal compris entn* côté's proportionnels. Ils seront donc équiangles, et les rayons SC et S<7 ne formeront (|u’une seule et même ligne droit!?. On prouverait de même que DD' et EE' passent par le point S.

Plusieurs instruments ingénieux employés |)our réduire les dessins, sont basés sur le théorème que nous venons d’établir; nous citerons le panlogiaphe.

fie- 97-

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GÉOMÉTRIE

102. Le rapport des périmètres de deux polygoœs senibUtbles estéj^al au rapport de similitude des deux polyf’ones f)7 ).

Les deux polygones ABCDE, A'B' C'D'E', éianl semblables, on a

AB BC ^ Cl) DE EA A' B' “ B' C' — C' D' ~ D' E' ~ E' A'"

Un théorème connu permet donc de poser immédiatement

AB -t- BC + CI) -1- DE -I- EA AB A'B'-hB'C'+C'D'+D'E'-i-E'A' “ A'B'"

Le numérateur du premier membre de l’égalité obtenue représente la somme des côtés du polygone ABCDE, c’est-à-dire son périmètre P; le dénominateur de ce mémo premier membre représente le' périmètre P' du polygone A'B'C'D'E'. On aura donc

P AB P' — .VB''

ni. — Relations métriques entre les différentes parties d’un triangle.

103. Pour simplifier les éfioncés, on appelle en géométrie produit de deux lignes le produit des nombres qui expriment leurs mesures par rapport à la même unité ; carré d'une ligne, le carré du nombre qui exprime sa mesure.

Si l’on a

A, B, C, D, représentant des longueurs ou les nombres qui l*!S mesurent lorsqu’on les rapporte à une meme unité, on dit que D est une quatrième proportionnelle à A, B, C.

Si les moyens B et C sont égaux, on aura

D est alors une troisième proportionnelle à A et B. Dans ce cas, B, à son tour, est une moyenne proportionnelle, entre A et D, et l’on a B’ = A X D.

On appelle projection d’un point .\ suruno ligne droite XY, le pied a de la perpendiculaire abaissée du point A sur XY. Si l’on donne une droite limitée AB, sa projection

sur XY est la longueur ab qui sépare les pro-

“ * jections de .ses points extrêmes {^fig. 98).

lOL Si du sommet de F angle droit d'un triangle rectangle

FiR. 98.

6o • GÉOMimiE.

on abaisse une perpendiculaire sur r hypoténuse : chaque côté de l'anf'le droit est moyenne proportionnelle entre sa projection sur l’hypoténuse et l’hypoténuse elle-même; la perpendiculaire abaissée est moyenne proportionnelle entre les deux segments quelle détermine sur F hypoténuse [fig. 99).

Soit le triangle rectangle ABC, soit la perpendiculaire AD abaissée du sommet A sur riijpoténuse BC. Cette perpendiculaire partagera le triangle proposé en deux triangles partiels, (|ui lui seront semblables et qui seront, par conséquent, semblables entre eux. En effet, les deux triangles rectangles ABC et ABD ayant l’angle aigu B commun, sont équiangles et semblables; il en est de même des triangles rectangles \B(' et ADC, qui ont l’angle aigu C commun.

Si l’on compare successivement les triangles ABD et ABC, .\DC et ABC, on pourra donc écrire

Fie- 99-

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