AC’ -T- AB’ = 2 (CD’ +■ AD

Si la droite BC ne change pas et si la somme des carrés des côtés AC et AB reste constante, ces côtés variant eux-mêmes, l’égalité précédente prouve que la valeur de la médiane AD restera constante. Par conséquent, le Heu des points dont la somme des carrés des distances éi deux points fixes est con-

GÉOMÉTRtE.

stanie, est une circotifémnce de cercle qui a pour centre le milieu de la droite qui joint les deux points fixes.

Si l’on a

VC’ + AB> = w’,

il viendra

,h>=3.((;ü’-+- Al)’), d’où AD= — Cl)’.

Telle sera l’expression du rayon de la circonférence. Le problème est impossible, lorsqu’on a m'c^aCI)’.

La somme des carrés des côtés d’un quadrilatère quelconque est égale à la somme des carrés des diagonales, augmentée de quati-e fois le carré de la droite qui joint tes milieux des diagonales [fg. io4).

Soit le quadrilatère ABCl). Soient E et F les milieux des diagonales A(^ et BD. Les deux triangles ADI], ABC,, donneront

AD’ -I- DC’ = a ( AE’ + DE’), AB’-+-BC’=2(\E’-i-BE’).

Si l’on ajoute ces deux égalités membre à membre, il vient AB’ -)- BC’ -i- DC’ -I- AD’ = 4 AE’-+- 2 (BE’ -+- DE’).

Le triangle BEI) donne d’ailleurs

2{BE’4-DE’)=4 (BF’-l-EF’).

On aura donc

AB’ -4- BC’ -h DC’ -I- AD’ = 4 AE’ -+- 4 BF’-l-4 EF’.

Mais de a \E = AC, on déduit 4'^E’ = A(?; de même, de aBF = BD, on déduit4BF’= BD’. Il restera donc

AB’ -f- BC’+ DC’-t-AD’= AC’ -4- BD’ +-4 EF’.

S’il s’agit d’un parallélogramme, la distance EF devient nulle. Par conséquent, dans tout parallélogramme, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales.

109. Dans tout triangle, la différence des carrés de dcu.r côtés est égale au double produit du troisième côté par la proiection sur sa direction de la médiane correspondante {fg. io3).

Nous avons déjà trouvé les deux égalités

Fij». 10.'^.

AC’ = ( :i)’ + AD’ -4- a CD . DE.

A B’ = BD’ -4- Al)’— a BD , DE.

GÉOMÉTRIE. fi;"»

Rotranrlions-les monibre à inembr»!, en remarquant que CD=BD : il viendra

c’est-à-dire