IV. — Des lignes proportionnelles dans le cercle

111. Si d'un point pris dans le plan d’un cercle on lui mène des sécantes, le produit des distances de ce point aux intersections de chaque sécante avec In circonférence est constant l^fig. 107).

Supposons d’abord le point donné intérieur au cercle. Par ce point E, menons deux cordes quelconques AB et CD. Joignons AC et BD. Nous formerons deux triangles AEC, DEB; ces triangles sont équiangles, car les angles en E sont opposés par le sommet, et les angles en C et en B sont égaux comme inscrits dans le même segment. La similitude des triangles considérés permellia donc de poser

= AF..»E = CE.nE.

On énonce quelquefois cette importante propriété, en disant (jue deux cordes quelconques se coupent dans une circonférence en parties inversement proportionnelles.

Supposons maintenant le point donné extérieur au cercle. Par ce point E, menons deux sécantes quelconques EAB, EDC

. ... i.-ti by Gpcali-

i;i:oMÉTRiE.

ÎJig. 108]. Joignons AC cl BD. Les deux triangles AEC, DEB Pig ,os. seront semblables. En effet, ils ont l'angle E g ' commun, et les angles C et B sont égaux

è comme inscrits dans le même segment. On pourra donc poser

tt-EB’ ec.ei. = eb ea.

On énonce quelquefois celle propriété en disant que deux sécantes issues d’un même point sont inversement proportionnelles à leurs parties extérieures.

Si l’on conçoit que la sécante EC tourne autour du point E, de manière à devenir la tangente EF, le théorème ne cessera pas d’être vrai, mais à la limite la sécante entière se confondra avec sa partie extérieure. On aura donc