AC^ = AD’ — CD

On a

Il viendra donc AC’ = 4 AO’

AD = ? AO et CD = AO.

■ AO’ = 3 AO’, d’où AC = AO s/3.

Le côté du triangle équitâtéral inscrit est donc égal au rayon du cercle circonscrit multiplié par la racine carrée de 3.

Le losange ABCO montre que l’apothème du triangle équilatéral est égal à la moitié du rayon du eerele circonscrit.

La hauteur de ce triangle est, par suite, égale aux - du rayon.

On peut remarquer ici que, lorsqu’un polygone régulier a un nombre de côtés pair, comme l’hexagone, chaque rayon AO prolongé donne un diamètre AD; tandis que lorsque le polygone régulier considéré a un nombre de côtés impair, comme le triangle équilatéral, à chaque rayon AO prolongé correspond un apothème.

Soit le triangle équilatéral inscrit ABC [fig. i3o). Menons les apothèmes, prolongés jusqu’à la circonférence, OH, 01, OK. Si par les points H, I, K, nous menons des tangentes à la circoulérence, nous formerons un triangle équilatéral circonscrit dont les côtés seront parallèles à ceux du triangle équilatéral inscrit (125). Les triangles semblables OAB, ODE,

Fip i3o

MOUS doimoroiit a lors

Al’ — *1^ — 21] — J.

DE — OD ~ ÔTl ~ â'

Le côté du triangle équilatéral elreonscrit est donc double de celui du triangle équilatéral inscrit. Il en résulte évideinnieiu que toutes les lignes tracées dans le triangle circonscrit sont doubles des lignes homologues du triangle inscrit. En particulier, la hauteur du triangle équilatéral circonscrit est triple du rayon du cercle inscrit.

Partant du triangle équilatéral et de l'hexagone, on pourra l'acilenient inscrire les polygones réguliers de 12, 24, 4^- 1)6, etc., côtés, en opérant successivement la bissection «les arcs considérés.

121). Inscrire un décagone régulier et un pentagone régulier dans un cercle [Jig. i3i).

Supposons que AB représente le côté du décagone régulier:

l'angle au centre ,\0B sera égal à — ou à ^d’angle droit. Le

Fii;. i3i. triangle AOB étant isocèle, chacun des angles

à la base sera égal à ^ d’angle droit. Divisons

l’angle OA B en deu< parties égales par la droite

■\L : l’angle 0\C étant égal a g d’angle droit

comme l’angle AOB, le triangle O VC sera isocèle, et l’on aura 0(;= \C. De même, l'angle

<;AB étant égal à et l’angle ABO à l’angle AEB sera né-

cessairement égal

et le triangle AtiB sera isocèle, de

sorte qu’on aura AC = AB. Ainsi, OE = \B.

tieci posé, la droite .\E étant bissectrice de l’angle 0\B du triangle AOB, on aura (89)