AO OE ... OB OE
ÂB ~ ËÏÏ’ ^ EKT “ EB’
en remplaçant le rayon AO, par le rayon OB et AB par son égal ' OE. On en déduit
OC’ ou AB’ = OB .EB. •
C'est-à-dire que le côté du décagone régulier inscrit est égal au plus grand segment du rayon du cercle circonscrit divisé en moyenne et extrême raison ( 120). J1 aura donc pour expression OB(— i-j-y/5) . •
CÉOMÉTniE.
Pour inscrire le pcniagone ré{'iilicr, il suflira île joindre de deux en deux les soiniiieis du déca{;one.
Parlant du penlagone el du décagone, on pourra facilenieni inscrire les polygones réguliers de 20, /{o, 80, 160, elc., côtés, en opérant siiccessivemenl la bisscction des arcs considérés.
Soient AB el BC [Ji^. 182) deux côtés consécutifs du décagone régulier inscrit ; AC représentera le côté du penlagone régulier. Prolongeons AB de manière que Al) soit égal au layon AO, el comparons les deux triangles AOC, AOI). L’angle .\OC est 4''
égal à ^ comme angle au centre du pentagone régulier, l'angle OAD, d’après ce qui
précède, est aussi égal a
Il en résulte
que les deux triangles comparés sont égaux comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux; par suite OI) = AC. Menons par le point 1), à la circonférence circonscrite, la tangente DE. On aura DE’=DA.DB (111 ). On a d’ailleurs AB’ = DA.DB. Par suite, DE est égale au côté du décagone régulier inscrit. En considérant le triangle rectangle ODE, on arrive donc à ce théorème : Le côté du pentagone régulier inscrit est V hypoténuse d'un triangle rectangle qui a pour côtés de P angle droit le rayon du cercle circonscrit et le coté du décagone régulier inscrit.
On peut remarquer que l’on a ^ = ^ En prenant
un arc égal à la différence des arcs qui représentent le sixième elle dixième de la circonférence, et en menant la corde de cet arc, on aura donc le côté du penlédécagone régulier inscrit. En partant de ce polygone, on pourra inscrire les polygones de 3o, 60, 120, etc., cotés.
On sait circonscrire tous les polygones réguliers qu’on sait inscrire, puisqu’on n’a qu’à mener, par les sommets du polygone inscrit considéré, des tangentes à la circonférence donnée.
Fig i33.
130. Le rayon d'un cercle el le côté d'un polygone régulier inscrit dans ce cercle étant donnés, calculer le côté du polygone régulier inscrit d'un nombre double de côtés [Jfig. i33).
Soit AB le côté donné. J'abaisse sur AB le diamètre perpendiculaire CD ; AC représentera le côté cherché. On a immédiatement
AC’ = CD.CE (lO'r).
Mais
GÉOMÉTKIE.
( E = (H: — OE Pt UE = vO^’-
puisque le triangle VOE est rectangle. On peut donc (lélorniiner EE, et par suite A(% en fonction d(‘s qiianütés données.
Désignons par U le rayon du cercle donné, par e le coté AB du polygone donné, par le diamètre du cercle inscrit dans ce polygone, c’csl-à-dirc le douBle de son apothème OE, par c' le côte A(] cherché. On aura, d’après les formules précédentes ;
(,E R — AC ou c'=y/2ll^R — j c’est-à-dire.
c'=v^R (aR- </;.
Les formules pratiques à employer seront donc d=\J^K'—c\ c'=v'H(2R — rf).
Connaissant le côté d’un poiyfrone réf'ntier inscrit, on peut ' facilement trouver le coté du polygone régulier circonscrit semhlahle [Jig. i34). En se reportant au n" 125, si l’on conserve les notations précédentes, et si l’on désigne par x lo côté CD cherché , les triangles AOB, COD, donnent immédiatement
lE
ou
c’est-à-dir«> d:
