III. — Mesure de la circonférence

131. D’après le principe posé (3), on peut regarder la circonférence comme un polygone régulier d'un nombre infini de côtés infiniment petits; car tous ses éléments, considérés comme égaux, sont à égale distance du centre et également inclinés les uns sur les autres. On peut donc appliquer sur-lechamp à la circonférence tous les théorèmes relatifs aux polygones réguliers, lorsque ces théorèmes ne dépendent pas de la grandeur et du nombre des côtés des polygones considérés.

132. Si l’on voulait préciser davantage, de manière à donner à la conclusion une apparence plus rigoureuse, on emploierait la considération des limites.

Nous savons déjà ce que c’est qu’une limite. Il est évident que lonqu’une quantité variable a une limite, elle n'en a

GÉOMÉTniE.

qu’une seule; rar elle ne peul tendre à la lois vers deux (|uanlilés finies différentes.

Lorsque deux quantités vnriahles s'approchent de leurs limites, en restant toujours égales entre elles, leurs limites ellejmémes sont éf^ales quoi, elles pourraient tendre à la fois vers deux limites différentes.

La somme ou la différence de deux quantités variables a pour limite la somme ou la différence des limites de ces quantités. Soient les deux quantités variables a; et vdontles limites sont reiirésentées par A et B. On a

X oonver};eant vers A et y vers B, le premier membre de l’égalité s'approrbe constamment de zéro : il en est donc de mêmedu second, c’est-à-dire que la limite de .r-t- j est A -t- B.

On prouverait de mt*ine que la différence x — r- a pour limite A — B.

Le produit de deux quantités variables a pour limite le produit des limites de ces quantités.

Désignons par a la différence décroissante qui existe entre x et sa limite A, par p la différence décroissante entre y et sa limite B. On aura

d’où

A B = .r f -I- av 4- px -t- a^.

Les quantités a et p s’approchant constamment de zéro, il on est de même des trois derniers termes du second membre et de leur somme. Le produit variable xj^ s’approche donc constamment du produit A B qui en est alors la limite.

Le quotient de deux quantités variables a pour limite le quotient des limites de ces quantités, pourvu que la limite du diviseur ns soit pas zéro.

Désignons par q le (|untient variable des quantités x et )•. On aura

-- = q, d'oi'i .V =y . q.

Il en résulte, d'après ce qui précède,

limx

lim x= lim r X lim (7, don limu — -r

' lim f

Ces principes presque évidents étant posés, il est facile de démontrer que la circonférence est la limite commune des périmètres des polygones réfraliers inscrits et circonscrits, lorsqu'on double indéfiniment te nombre de leurs côtés.

■le désigne par p et par P les périmètres de deux poixgones

CÉUMÉTIUE.

réguliers somhliiblcs, l'uii iiisrril, l’iiulie cirronscril i34). Nous avons vu (liî5) que les |térim»;lrcs de ces polygones s’approchaieiil coiistainmeul de celui de la circonférence, tout en le comprenant toujours efilre eux, à mesure que le nombre Il de leurs célés doublait indéfiniment. Il suflit donc de prouver que la différence P — a pour limite zéro.

On a

\lt

On en déduit

c’est-à-dire