P„ OF — OK ~P ~ OF

Or représente un quotient variable toujours plus grand

ür

que le rapport de la circonférence au rayon OF, mais qui s’en

approche constamment ; en d’autres termes, a une limite

finie ; EF est plus petit que AF : il converge donc vers zéfo, puisque AF converge vers zéro (125). Le produit qui représente P — P a donc lui-méme pour limite zéro.

133. Les explications dans lesquelles nous venons d’entrer nous permettent d'énoncer cette proposition (12(i) :

Ueujc circonférences quelconques sont proportionnelles à leurs rayons ou à leurs diamètres.

En désignant par It et K' les rayons des deux circonférences données, par I) et D' leurs diamètres, on aura donc

. cire K Il h

cÏTclr “ lT~ÏF‘ . '

On peut écrire cette relation fondamentale comme il suit:*

cire K cire il'

On en conclut que le rapport d'une circonférence à son diamètre est un nombre constant.

Ce rapport constant, qui est la longueur de la circonférence qui a pour diamètre l’unité, est toujours représenté par ir.

On posera donc if’une manière générale ^ ,

• ’ . "'ri • ■Z

cire II

d'où

GÉOMÉTRIE

l ire K

cire R = sttK cl R

' 7. JC

(’unnuissant le nombre abstrait ic, on n'aura doue, pour trouver la longueur d'une circonférence, qu'à mesurer son rayon. La première formule domie la circonférence en fonction de son ravon, la seconde donne le ra\on en fonction de la circonférence correspondante.

Si l'on veut calculer la loiifrueur l d'un arc de n degrés dans la circonférence de rayon R, on remarquera que l'arc de i” est égal à

C» jr R 3ÔÜ

On aura donc

. JC R « j: R /(

Cette formule, ipii sert à calculer l’une des trois i|uanlités /, R, n, lorsi|ue les deux autres sont données, est d'un usage continuel dans les applications.

13V. Deux arcs semblables sont proportionnels à leurs rayons.

On entend par o/'c,« semblables des arcs qui comprennent le même nombre de degrés dans des circonférences de rayons différents.

Soient / et /' les longueurs des deux arcs semblables, R et R' les rayons correspondants, « le nombre de degrés de chacun d'eux; on aura ( 133)

. JC Rw TT R' n

~“ôiïr’

d'oii

11 est bon de remarquer que lorsqu’un angle est donné, la longueur de l’arc qui lui sert de mesure change avec le rayon

choisi , mais que le rapport ^ demeure invariable pour le

même angle. Aussi emploie-t-on souvent ce rapport pour désigner l’angle considéré. L'angle est alors mesuré par l’arc qu’il intercepte sur la circonférence de rayon i, son sommet étant supposé au centre de cette circonférence. Dans ce cas,

l’angle droit esl représente par^. l'n angle él.Tnl mesuré ainsi

jiar lo nombre abstrait A, son nombre île ilcgrés sera évidem-

iHo A ment -

, puisiiue îT corres|ioiul à un angle de i8o“.

135. Cidcui de. n. Il s'agit surtout ici de démontrer la possibilité de calculer rr. La solution complète et pratique de ^cette question appartient aux mathématiques supérieures, cire R

Nous avons ir= ^ ^ . Par conséquent, pour, trouver k, on

peut : 1“ se donner le rayon d’une circonférence et cheit-fier A calculer sa longueur ; 2“ ie donner au contraire la longueur d’une certaine circonférence et chercher à calculer son rayon. C’est la première méthode que nous suivrons.

Nous allons chercher la longueur de la circonférence dont le rayon est pris pour unité. En prenant la moitié de cette longueur, nous aurons le nombre tt.

J'inscris dans la circonférence proposée les polygones réguliers de 4fH, iG, 32,..., côtés, et je calcule leurs périmètres. Je désigne par c, c„ c,, Oj,..., les côtés de ces polygones; par

d, d„ </„ </, les diamètres des cercles inscrits dans ces

polygones; et je fais usage des formules trouvées (130) :

<■, = V^ïl (2 R — - </), =

Le rayon R étant supposé égal à 1, ces fortnujes devionilront ;

rf = v'4 — C‘ ■) c,=^\ji — d.

Le côté du carré inscrit étant égal à Rv^2(127), on devra rcm|ilacer c par sjf.. On aura successivement :

d,= s//i—cl, c,= ^2—dt,

Sup|)osons qu’on s’arrête au polygone régulier dont le côte est représenté par c„ c’est-à-dire au polygone de 25G côtés. Hésignons par p le périmètre de ce imlygone : il aura pour expression /> = a5Gc.; la longueur de la circonférence considérée est supérieure à p.

Lberebons le péiimctre I* du polygone régulier circonscrit

88 GÉOMÉTRIE

(le 256 côtés. Nous aurons (126) :

(l'oii

La lo^igueur de la circonférence est inférieure à P.

La circonférence tornbanl cnhe P et p, toutes les décimales commnne's aux expressions de ces deux périmètres appartiendront nécessairement <i l'expression de la circonférence. On obtiendra donc ainsi la longueur de la circonférence, et l'on pourra juger en même temps du degré d'approximation atteint. En divisant par 2 le nombre trouvé, on aura, en divisant aussi par 2 l’erreur commise, la valeur de n.

On peut réduire le calcul à la recherche des diamètres d, rf, , </, , et du dernier côté En effet, si l'on remplace dans la formule d, = — c) , c. par sa valeur \j-?. — d,

il viendra

Chaque diamètre peut donc être calculé au moyen du précé- * dent. Il suffira donc d'exprimer en décimales, jusqu’à l’ordre indiqué, les valeurs suivantes ;

d —\jï, f/, = v'a + d , d, = y'2 -f- it, , il, = v/2 ,

il, = d,,

En allant jusqu’à la liuiliéme décimale, on trouve ;

d, = I ,H47')5qo5,

(/, = I ,i)(i 157055, d, = I ,qqo36<)45, d, = I ,9i)75<)0()i , d, = I ,9<j9397C>4 , d,= I ,<>y()H49{o,

On remarque que, d’apres exposées en Arithmétique, 01

c„ — 0,07.454302 P =i6,283oi ,

les théories li^ipproxiiualion ne peut pas i ompler sur plus

a^OMÉTIilE.

(ic cinq tléciinales évadés en calculaiu les valeurs de jt cl de I*. La lonfjiicur de la circunlerence qui a pour rajon l’anilé sera, «l'après les valeurs irotivées, 6,aH3 à un demi-iuillinièlre près. I>a valeur de ir sera donc 3,i4i5 à un qiiarl de inillimélre près. En comparant cclK; valeur aux expressions connues, ou voit que le chiffre des dix-millièmes est lui-même exact. .Archimède est le premier géomètre qui ail indiqué deux

limites de ir: ces limites sont 3 — et 3 — . On emploie sou-

vent la première — qui ne surpasse pas v de 2 millièmes.

Mélius a donné pour valeur approchée de tt l’expression

fractionnaire — r, facile à retenir. Ponr la former, on écrit 1 13

«leux fois de suite les trois premiers nombres impairs ; on oblieni ainsi 1 13355 : les trois premiers chiffres forment le dénominateur, les trois derniers forment le numérateur.

L’expression fractionnaire est exacte jusqu’au chiffre ■ «les*millionièrnes.

Lambert a prouvé que jr était un nombre incommensuralde. En voici une valeur approchée jusqu'à la i4’ décimale :

Les dernières formules indiqmms conduisent à une expression remarquable de e.

De d = on déduit

le nombre des radicaux superposés étant égal à /i — i. On aura alors

c», = yS. — f/,. ,

« ’est-à-dirc

le nombre des radicaux superposés étant A . L’iinlice A — 1 correspond à un nombre de côtés représenté par 2*’". On aura donc

go C.tOVÉTRIE.

üu, en preiuml la moilié.

T = liiii y/ 2

le noinliro des radicaux superposés élanl h .

QUESTIONS PROPOSÉES

CiiAi’iTKE I. — i” Si, par les sommets d’un triangle, oh Iraco des |iaralléles aux côtés opposés, on forme un triangle quadruple du premier; les côtés parallèles sont doubles l'un de l aulrc.

a" Faire usage du théorème précédent pour démontrer que les trois himtviirs d'un triangle .se rencontrent en un même point.

3“ Toute droite <)ui passe par le point de rencontre des diagonales d un parallélogramme, est ditisée en ce point en deux parties égales; la droite considérée di\isole parallélogramme en deux quadrilatères égaux. C'est à cause de ces propriétés que le point de rencontre des diagonales il'un parallélogramme est appelé centre de ce |iarullélogramme.

4” bes diagonales de deux parallélogrammes inscrits l'un dans l’autre ont le même point de rencontre.

.V' Un peut inscrire dans un rectangre des parallélogrammes dont les côtés soient parallèles aux diagonales du rectangle. Se servir de cette propriété pour résoudre le problème suivant :

Un donne une table de billard; dans quelle direction faut-il lancer la bille pour qu’elle revienne au point de départ, apri's avoir successivement frappé les quatre côtés du billard. Un admet que, la bande étant parfaitement élastique, la bille se relève toujours de manière qug l'angle de rrflcjrion soit égal à l’angle d'inciilcwr.

(’)" Les bissectrices des angles d'un ipiadrilatère forment un autre quailrilatere, dont les angles opjiosés sont supplémentaires.

7" Les bissectrices des angles formés en prolongeant les côtés d'un quadrilatère se coupent sous un angle égal à la demi-somme de deux angles opposés du quadrilatère.

(’.ii.vpiTiiK il. — i” Trouver le lieu des milieux des cordes d’une circonlérence, ipii sont égales à une droite donnée.

u“ Lien des centres des circonférences qui , décrites avec un même rayon, coupent une circonférence donnée sous un angle donné. — Un entend par angle de deux courbes l’angle de leurs tangentes au point d’intersection.

3" Décrire une circonférence qui passe |Kir un point donné et touche une circonférence donnée en un [xiint donné.

.f" üérrire une circouférence tangente à une droite donnée et qui louche une circonférence donné'e en un point donné.

. à” Lorsiproii mène deux séi’antes (pieiconques par le iMiiiit de contact de deux circonférences tangentes, les cordes qu’elles déterminent sont l'arailèles.

fi" St d un point (piehoiique de la circonférence circonscrile à un

Gl‘.UMtTlllE. ’ 91

Iriaiiglu, on abaisse des (icrpendioilairos sur ses colés, les pieds de ees jH,'Tj>cndi(’ulaires sont en ligne droite.

7" Construire un triangle connaissttnt un edto, l'un des angles adjaeenls, et la somme ou la différence des deux autres cdlés.

8" Démontrer que le diamètre du cercle inscrit dans un triangle rectangle est égal à l’excès de la somme des deux célès de l'angle droit sur rhy|)Oténus(‘.

g“ Lorsque deux circonférences se coupent, la corde commune prolongée est le lieu des points do encontre des tangentes égales menéc“s à ces deux circonférences.

•• 10“ Décrire une circonférence qui intercepte sur lU'ux parallèles des

cordes de longueur donnée.

1 1” Si l'on mène une sécante |>ar l’un des (Kiints communs à doux circonférences qui se coupent, les tangentes menées par les autres |)oints d’intersection de la sécanU' avec les deux circonférences, font un angle constant.

la* Par un point A extérieur à une circonférence U, on meno une sécante ACD dont la partie extérieure .AC est égale au rayon; si I on mene le diamètre AOb, l’angle CüA est le tiers de l’angle 1H>H.

iJ* Soit une circonférence. Si, du point \ milieu d’un arc H.AC, on mène deuxicordes quelconques AD et .AB qui coupent la corde Ik. aux (loinls K et (î, les quatre (loints D, B, G, H,. appartiennent à une même circonférence.

CiixeiTHK 111. — 1° Inscrire un carré dans un demi-cercle ou dans un triangle.

1° Ixïs trois médianes d’un triangle concourent en un même point qui divise chacune de ces lignes dans le rapport de a à 1 à partir du sommet correspondant.

3" Si, par un point pris dans l’intérieur d’un cercle, on mène deux conles periiendiculaires entni elles, les deux arcs non contigus qu'elles déterminent valent en somme une demi-circonférence; la somme des carrés des quatre .«egments des deux cordes est égale au carré du diamètre; si l’on fait varier ht position des cordes, toujours perpendiculaires entre elles et passant toujours par le mémo point, la somme de leurs carrés demeure constante ; trouver l’expros-sion de celle somme.

Calculer les hauteurs, les médianes et les bissectrices d'un triangle, dont on connaît les trois côtés.

.A” Dans tout trajièze, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés non parallèles, augmentée du double produit des bases |>arallèles.

6“ Inscrire dans un triangle donné un triangle équilatéral, dont un côté soit dirigé parallèlement à une droite donnée.

7® Constniire un polygone de jiérimèlre donné et semblable à un polygone donné.

8° Tracer doux cercles tangents l'un à l’autre et touchant une droite donnée en deux jioints donnés, connais.sant la somme ou la différence de leurs rayons.

g" Trouver le lieu du sommet de l’angle droit d'un triangle rectangle, ilonl les doux autres sommets glissent sur deux axes rectangulaires donnes.

CuM'irnK IV. — 1" Cidculcr à moins de o'*.ooi la circonférence qui a pour rayon la diagonale d’un carré dont le coté c.st égal 3*'.a.i.

<)2 GÉOMÉTRIE

2° (.'.alculer à muins d’une seconde le ncunlire de degrés de I arc égal à son rayon.,

3° Si l’on fait rouler un cercle à rinterieur d'un cercle fixe de rayon double, de manière qu’ils soient toujours tangents, un |)oint quelconque do la circonférence du cercle mobile dépérit un diamètre du cercle fixe.

Ÿ Démontrer que - est compris entre 3 et 4, par la considération des périmètres de l’hexagone régulier inscrit et du carré circonscrit.

Étant donnés le rayon et l'apothème d’un itolygone régulier inscrit, calculer le rayon et l’apothème du polygone régulier isopérimètre qui a deux fois plus de cotés que le polygone donné. — C’est sur ce théorème tiu'cst basée la seconde méthode pour calculer -.

(>" Si la distance des centres de deux cercles qui se coupent à angle droit est égale au double de l’un des rayons, la corde commune est à la fois le côté de l’hexagone régulier inscrit dans l’un des cercles et le côté du triangle équilatéral inscrit dans l'autre.

7” Si (leux circonférences sont tangentes intérieurement à une troisième circonférence, et si la somme de leurs rayons est égale à celui de cette troisième circonférence, l'arc compris entre les points de contact sur la grande circonférence est égal à la somme des arcs compris sur les circonférences intérieures, entre leur premier point de rencontre et les mômes points de contact.

8° Deux diagonales d'un, pentagone régulier, qui n'aboutissent pas au môme sommet, se coupent en moyenne et extrême raison.

9" Étant donnés h'S |>érimètrcs de deux polygones réguliers inscrit et circonscrit semblabh's, calcider k's périmètres d(>s deux polygones réguliers inscrit et circonscrit d’un nombre de côtés double.

GÉOMÊTUIK.

UVUE DEUXIÈME.

m:s suhf \cks.