HE

Par tous les points de division C, 1, L, menons des parallèles à la base BC. Nous partagerons le rectangle ABC.D en ciii(| rectangles partiels, et le rectangle HCFE en deux rectangles partiels ; tous ces rectangles partiels seront égaux entre eux comme ayant même base cl même hauteur. On pourra pren- , dre l’un de ces rectangles partiels comme commune mesure entre les deux rectangles proposés. On aura alors

AHCD 5 HCFE ~ 5t'

Le rapport des deux rectangles est donc égal à celui de leurs hauteurs. El comme on peut prendre, au contraire, pour base du premier rectangle le coté B V et pour hase du second le cêlé HE, de sorte qu’ils ont alors BC pour hauteur commune, on peut dire aussi que deux rectangles de m^me hauteur sont entre eux comme leurs bases.

Il en résulte immédiatement, d’après la théorie des grandeurs proportionnelles [/Hg. élém., 58), que deux rectangles quelconques sont entre eux comme les produits de leurs deux dimensions.

Prenons alors deux rectangles quelconques, dont nous désignerons les aires i>ar U et r; soient B et II la base et la hauteur du premier rectangle, b et h la hase et la hauteur du second rectangle. Nous aurons

R HxH B 1I r~ b >: h ~ b^ T

Si r représente l’unilé de surface, c’est-à-dire le mètre* carré, b et h représenteront l’unité de longueur, c’est-à-dire le im'*- Ire. L’égalité précédente deviendra

Fip i35.

Gf.OMÉTIVIK.

Mais rap|)Oi t de U à son unité, est la niesiiie de la surfaec . . . . . Il H

du premier rcctaii};lo; de meme -j-ïj et représentent les mesures des deuv dimensions de ce rectangle. Ainsi le même nombre abstrait correspond à la mesure du rectangle proposé, exprimée en mètres carrés, et au produit des mesures de la bauteuretde la base du rectangle, expriméi's en mètres.

C’est ce qu’on énonce d’une manière rapide, mais inexacte, en disant ; un reclanf'le a pour mesure le produit de su buse pur sa hauteur. Cette abréviation n’a pas d'ailleurs d'inconvénient, lorsqu’on a bien saisi les explications précédentes.

Si la commune mesure su|iposée entre les bauteurs H \ et bl' n’existait pas, on se reporterait aux indications déjà données à ce sujet (C3).

On voit que taire it un carré est représentée pur ta seconde puissance du nombre qui mesure son côté. C’est de là (pic vient le nom de carré, donné en arithmétique à la seconde puissance d’un nombre.

138. L'aire (tun parnllélof’ramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur i36).

Pjg 11,(5 Soit le parallélogramme ABCI). Par les

J, ^ extrémités de la base AB, je mène à AB et

' y à sa parallèle Cl) les perpendiculaires AF et BE. Je forme ainsi uii rectangle ABEF qui a même base AB et même hauteur AF que le ’ parallélogramme proposé. Je dis que ce rectangle est équivalent au parallélogramme donné.

En effet, ces deux figures ont une partie commune ABEI) et ne diffèrent que par les triangles ADF, BCE; si l’on démontre que ces triangles sont égaux, on aura prouvé l’équivalence des deux figures. Or les triangles rectangles ADF, BCE, sont égaux, parce que leurs hypoténuses AD et BC sont égales comme parallèles comprises entre parallèles, et que leurs côtés AF et BE sont égaux pour la même raison.

Mais le rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur (137); telle sera donc aussi la mesure du parallélogramme.

Soient deux parallélogrammes P, P'; désignons leurs bases par B, B', leurs hauteurs par 11, H'. On aura

Il en résulte

P = BxH, P'=B'xH'.

P' ~ B' X il'

Par ronscquiMil. deux pumllêloy^ruinmes queteonques sont entre eux connue les produits respectifs de leurs luises pur lents linuteiirs; deux piirullélogrummes de même hase sont entre eux comme leurs liuuteuis; deux parallélogrammes de même hauteur sont entre eux comme leurs hases.

139. L’aire d’un triangle a pour mesure la moitié du produit de sa hase par sa hauteur {Jig. i37).

Soit le triangle MUl. Par le |)oinl A, je mène \D, parallèle à ItC; par le point C, je mène CD parallèle à AB. Je forme ainsi le parallélogramme ABCD. Le triangle ABC est évidemment la moitié de ce parallèlogratnmè, (pii a meme base et même hauteur que lui, puisque les deux triangles ABC et ACD sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun.

Le parallélogramme ayant pour mesure le produit de sa hase BC par sa hauteur AE (138), le triangle aura pour mesure la moitié de ce produit.

Soient T et 1' deux triangles quelconques; désignons leurs hases par B et B', leurs hauteurs par II ei H'. On aura

Il en résulte

B XII .^., B'xlC