CARRÉ ET RACINE CARRÉE DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES

Ül. 1) faudrait maintenant traiter d’une manière générale ce qui se rapporte au\ puissances et aux racines de degré quelconque des polynômes. Nous nous bornerons ici à ce qui concerne l’élévation au carré et l’extraction de la racine carrée des polynômes.

()2. Pour former le carré d’un monôme, il suffit, d’après la règle de multiplication des monômes, d’élever son coefficient au carré et de doubler tous les exposants des lettres qui >• entrent. Le carré de •^a^bx est 4g«‘è’.r’.

03. Nous savons former le carré d’un binôme, cherchons le carré 'Pun trinôme a b-\-c. On peut le considérer comme un binôme dont le premier terme est a -i- b. On aura alors

(rt -h è -I- c)'= (rt -I- ô)’-i- 2 [a 4- b) c e’ ou

[a-\- /) 4 - c )’ = 2 rtô -I- 2 «c4- 2 ôc 4-c’.

Le carré d'un trinôme est donc égal au carré du premier terme, plus le double produit du premier terme par le second, plus le carré du second, plus le double produit de chacun des deux premiers termes par le troisième, plus le carré du troisième.

Si un terme d s’ajoute aux précédents, on aura évidemment

(rt 4- ô 4- c (■/)’ = (rt 4- /> 4- C'Y 4- 2 {a 4- è 4- c) d -+- </’.

Par l'introduciion d’un nouveau terme, on ajoute donc au développement le double produit de chacun des premiers termes par le dernier, plus le carré de ce ilernicr. La loi est manifeste.

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. s35

On peut dire encore que le carré d'un polynôme renferme les carrés de tous ses termes et les doubles produits de tous ses termes pris deux à deux.

Si l’on considère un polynôme ordonné, on peut remarquer que les deux premiers ei les deux derniers termes du développement ne se réduiront avec aucun autre, et resteront dans le développement tels qu’on les aura trouvés. En effet, en supposant que les exposants de la lettre ordonnatrice aillent en décroissant, on voit que et 2 «/> contiendront la lettre ordonnatrice à une puissance plus élevée que tous les autres termes; les deux derniers termes, quels qu'ils soient, contiendront cette même lettre? à une puissance plus faible que tous les autres termes.

GV. Pour extraire la racine carrée d’un monôme, il faut évidemment extraire ta racine carrée de son coefficient et diviser par 2 les exposants de toutes les lettres qui y entrent (62). Un monôme sera carré parfait si son coefficient est carré parfait et si les exposants des lettres qui y entrent sont tous pairs. Sinon, on ne pourra qu’indiquer l’extraction de la racine. La racine carrée du monôme 49a'è’x’ est 'ja’bx. Si l’on donne le monôme 63a’ T’, on écrit seulement fbSà'x'.

65. Soit maintenant à chercher la racine carrée d’un polynôme supposé carré parfait. Ce polynôme aura au moins trois termes, puisque le carré d’un monôme est un monôme et que le carré d’un binôme est un trinôme. Désignons-le par P et représentons sa racine carrée par

On aura

P= (rt ô -f- c -t- r/-t-...)’.

D’après la remarque faite (63), le polynôme étant supposé ordonné suivant les puissances décroissantes d’une certaine lettre ainsi que sa racine carrée, ses deux premiers termes seront, sans réduction, a’ et nab. En extrayant la racine carrée du premier terme du polynôme proposé, on aura donc te premier terme de la racine. Si l’on retranche a’ de P, le reste R qu’on obtiendra sera égal à

nab -H è’ -t- aac -H....

Son premier terme étant éççal àiab, il suffira, pour avoir le second terme de la racine de diviser ce premier terme 9.ab par te double ia du premier terme écrit à la racine. .Ayant les deux premiers termes de la racine, on formera le carré du binôme correspondant a -y b, et on le retranchera du polynôme P. On en a déjà Retranché a’; pour former la quantité lab -f- />’ qu'on doit retrancher du reste K alors obtenu, il suHil d écrire à la

OKjiiiï-i by C^i» >gU:

a36 A.LGÈBRE ÉLÉMENTAIHB.

suite du double le second terme b et de multiplier par ce second terme l’ensemble ^a + b. Le nouveau reste U' sera égal à

a rtC -I- 2 />C -f- C’ .

Le premier terme de ce reste est encore le produit du double du premier terme de la racine par le troisième ternie de celle racine ; il suffira donc de le diviser par ia poui' avoir le iroisième lerine c. 11 faudra ensuite foiiner le carré du trinôme déterminé par les trois premiers termes de la racine el le retrancher du polynôme P. On en a déjà retranché {«+ />)’; il faut donc seulement retrancher du reste K' alors obimiu

ce (|ui revient à

Pour obtenir l’expression à retrancher du reste IL, il faut donc former le double des deux premiers termes de la racine, écrire à la suite le troisième terme de cette racine, et multiplier l’ensemble trouvé par ce troisième terme.

Il n’est pas besoin d’aller plus loin : la règle à suivre est évidente. Dès qu'on a trouvé le premier terme de la mcine en extrayant la racine carrée du premier terme du polynôme proposé, on trouve tous les autres en divisant le premier terme de chacun des restes successifs par le double du premier terme de la racine. On obtient d'ailleurs les différents restes, en retranchant successivement du polynôme donné le carré du premier, des deux premiers, des trois premiers.... termes de la racine ; ce qui revient, dès le second reste, à retrancher du reste précédent le produit de l’ensemble du double de la partie écrite à la racine suivi du dernier terme trouvé, parce dernier terme. On sera averti qu’on est arrivé au dernier terme de la racine, lorsqu’on obtiendra un reste nul. Réciproquement , la racine est exacte si l’on trouve un reste nul.

L’opération présente la disposition suivante. Soit à extraire la racine carrée du polynôme

a5 2 oré.r ^-(-74 «‘x* — 4*^ «'.r ‘-|-57 «“x^— 28 « 'x--|-4 «*

— aoré.r’-l- S/ïV — 28tt'x-4-4rt‘

— 2 rt’x’4- 7 — 2 «'

lon.r* —

— îrt’x’

lor/.r^ — j/é.r -1- 7«-V

I O rtx“— 4 fl’x’-l- 1 4 réx — 2

— 2rt‘

l.’extraction de la racine carrée des polynômes a fine grande analogie avec l’eMiariion de la racine carrée des nombres, ün

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. -X^-J

écril immédialeinent les produits à retrancher au-dessous des restes successifs, en cliangeant les signes des terinês de ces produits à mesure qu’on les calcule et en les disposant de manière à faciliter la réduction des termes semblables. On n’écrit pas le premier terme de chaque produit, qui détruit forcément le premier terme du reste correspondant (*).

66. L’extraction est impossible lorsque, le polynôme étant ordonné par rapport à une lettre quelconque, le premier et le dernier terme ne sont pas des carrés parfaits. Elle est encore impossible lorsque, le premier et le dernier terme étant des carrés parfaits, le second et l’avant-dernier terme ne sont pas respectivement divisibles par le double de la racine carrée du premier et du dernier terme. Enlin, l’extraction sera encore impossible lorsqu’on sera conduit 'à un reste dont le premier terme ne sera plus divisible par le double du premier terme posé à la racine.

I.orsque le premier terme du polynôme proposé est un carré parfait, on peut toujours commencer l’extraction de la racine carrée et la continuer jusiiu’à ce qu’on parvienne à un reste K dont le premier terme ne soit plus divisible par le double du premier terme de la racine. Si l’on appelle P le polynôme proposé et le polynôme écrit à la racine, on aura, d’après ce (pii précède,