CHAPITRE VIL

CALCUL DES VALEURS ARITHMÉTIQUES DES RADICAUX. - EXPOSANTS FRACTIONNAIRES ET NÉGATIFS.

69. Nous avons déjà dit en Arithmétique que lar racine W'"* d’une quantité, étant élevée à la puissance m, devait reproduire la quantité proposée. On indique la racine m''** d’une 'quantité en employant le signe v^, affecté de l’indice m.

La racine de la quantité a s’écrira "^a.

ALCÈBnE ÉLÉMENTAIRE. 239

.a peut avoir une valeur positive ou négative, ni peut être pair ou impair. Examinons ces différents cas.

i". Si m est pair et que a soit positif, ly a admettra deux valeurs égales et de signes contraires. En effet, qu’on affecte la valeur absolue de "^a du signe -t- ou du signe — , comme m est pair et que le produit d’un nombre pair de facteurs négatifs est positif (20), on obtiendra toujours a comme résultat en prenant m facteurs égaux à 'y a ou à — "!Ja- Si a' désigne la valeur absolue de "IJa, on aura donc d’une manière générale

7« = ±rt'.

2®. Si m est pair et que a soit négatif, 'y n ne pourra être exprimée par aucun nombre positif ou négatif, puisque le produit d’un nombre pair de facteurs positifs ou négatifs est positif. On donne à une pareille expression le nom d’expression imaginaire, parce qu’elle ne peut avoir aucune représentation numérique.

3". Si m est impair, "IJa n’aura qu’une seule valeur de même signe que «: un nombre impair de facteurs positifs donne en effet un produit positif, un nombre impair de facteurs négatifs, donne un produit négatif. En désignant par a' la valeur absolue de "\Ja, abstraction faite du signe de a, on aura d’une manière générale

"!jn — -t- a' , si a est positif;

"^a — — a' , si a est négatif.

•\insi

Dans ce qui va suivre, nous considérerons les quantités placées sous les radicaux comme ayant une valeur positive et nous n’admettrons que les racines positives de ces quantités.

70. Il n’y a pas lieu de s’arrêter à l’addition et à la soustraction des radicaux. Le plus souvent on ne pourra qu’indiquer l’opération à effectuer. Si des simplifications sont possibles, elles détiendront des transformations que nous allons étudier et de ce qu’on a déjà dit sur la réduction des termes^ semblables.

71 . Pour multiplier plusieurs radicaux de même indice, on multiplie les quantités pincées sous ces radicaux et on affecte leur produit du radical commun.

Je dis qu’on a

7fl.7Ï.Vc = 7«èc,

a, b, c, étant des quantités quelconques positives.

24o ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

Rappelons-nous que, pour élever un produit à une puissance, il faut élever à celle puissance chaque fticteur du produit [/ivith., 76) ; de plus, on a par définition

{Ç/rtJ —a.

Si l’on élève alors à la puissance m les deux membres de l’égalité précédente, on trouvera

=ahv,

ce qui démontre la règle. En effet, puisque le premier membre de cette égalité, élevé à la puissance m, reproduit abc, ce premier membre représente "l/abc.

L’égalité "l/a."^b."^c — ’^abc prouve que, pour extraire la racine d’un produit, il faut extraire la racine de chaque facteur.

On peut, d’après cela, simplifier l’expression d’un radical, lorsqu’il recouvre le produit de deux facteurs dont l’ün est une puissance exacte relativement à l’indice du radical.

Ainsi

”^n'‘‘b = n’ "ijb,

on fera donc sortir un facteur du radical, c’est-à-dire on l’écrira en dehors du radical, en en extrayant une racine marquée par l’indice du radical.

Réciproquement, si l’on a intérêt à faire entrer un facteur sous le radical, il faut l’élever à une puissance marquée par l’indice du radical.

On aura

On aura de même

VS=v/l^=v1-

72. Pour diviser deux radicaux de même indice, on divise les quantités placées sous les radicaux, et on affecte leur quotient du radical commun.

Je dis qu’on a

Rappelons-nous que, pour élever une fraction à une puissance, il faut élever ses deux termes à celte puissance. On

ALGÈnUE ÉLÉMENTAIRE. a 4 I

aura alors

ce qui démontre la règle énoncée.

73. Pour élever un radical à une puissance, 07i élève à cette puissance la quantité placée sous le radical.

Je dis qu’on a

En effet, élever 'y a à la puissance p, c’est faire le produit de P facteurs égaux à (71 ).

74. Pour extraire la racine d’un radical, on extrait la racine de la quantité placée sous ce radical, ou Von multiplie les deux indices l’un par l’autre.

Je dis qu’on a

p,~' •np,~

On a démontré en Arithmétique que, pour élever une puissance à une autre puissance, il fallait multiplier les exposants des deux puissances : (a^)‘ = a?^'. Réciproquement, pour élever a à la puissance 12 , on peut indifféremment commencer par élever a au cube, puis le résultat a’ à la quatrième puissance, ou bien élever a à la quatrième puissance et le résultat a* au cube. Ceci posé, en élevant les trois expressions indiquées à la puissance mp, on trouvera a : y 7«> par exemple, élevée à la puissance p donnera et ce résultat élevé à la puissance m donnera a; ces trois expressions sont donc égales comme représentant la racine mp‘"“ d’une même quantité.

Ce théorème permet de simplifier l’extraction des racines numériques, lorsque leur degré ne renferme que les facteurs premiers 2 et 3.

Ainsi, on peut écrire

' Va = 7 v/« = ^ y \fâ.

Pour extraire la racine douzième de a, on pourra donc extraire la racine carrée de a, puis la racine carrée de cette racine carrée, et enfin la racine cubique du résultat. On aura de même

75. On ne change pas la valeur d’un radical en multipliant son indice par un certain nombre, pourvu qu’on élève à la puissance marquée par ce nombre la quantité placée sous le radical. Si l’on divise l’indice par un certain nombre, on doit

a4a ALGEBRE ÉLÉMEATAniE.

au contraire extraire de ta quantité placée sous le radical une racine marquée par le diviseur employé.

Celte règle rcsulle immédialemeni du Ihéorème précédent. On a évidemment.

puisqu’on vient de démontrer la relation ' ■ . ^

et que équivaut à fl.

On peut, d’après ce qu’on vient de dire, simplifier un radical en supprimant les facteurs communs à l’indice du radical et à l’exposant de la puissance qu’il recouvre.

On peut aussi réduire plusieurs radicaux au meme indice, en suivant une marche analogue à celle qu’on emploie en -\rithmétique pour réduire plusieurs fractions au plus petit dénominateur commun. Soit proposé de réduire au même indice les radicaux ‘v fl, 7è, ’v c. Ona

• Le plus petit multiple commun des trois indices sera donc 2’x3x5X7 = 4^0.

En le divisant successivement par i5, 12 et i4, on trouvera pour quotients 28, 35, 3o. 11 faudra multiplier chaque indice par le quotient qui lui correspond et élever à une puissance marquée par ce quotient la quantité placée sous le radical considéré. Il viendra

76. Pour multiplier ou diviser des radicaux d’indices différents, on commence par les ramener au même indice, puis on applique les résultats précédents.

Des exposants fractionnaires.

77. On peut diviser par un môme nombre l’indice d’un radical et l’exposant de la quantité qu’il recouvre (75). On peut donc écrire

Ç/fl"('=rt"=fl/'.

La fraction a pour numérateur l’exposant de la quantité

placée sous le radical, et pour dénominateur l’indice de ce radical.

ALGkBIlE ÉLÉMENTAinE. , 2^3

La forme fractionnaire de l’exposant n’entraîne ici aucune remarque, puisque cette forme fractionnaire correspond à un quotient entier. Mais il y a avantage évident, ou, pour mieux dire, le caractère de l’Algèbre conduit nécessairement à étendre par convention cette notation au cas même où l’exposant de la quantité placée sous le radical n’est pas divisible par l’indice du radical. En cITet, les règles relatives au calcul des quantités affectées d’exposants, qui ont été démontrées en Arithmétique (73 et suivants), exigent que ces exposants soient entiers. Les exposants pouvant être, eux aussi, représentés en Algèbre par des symboles généraux, il faut qu’on puisse supposer ces symboles remplacés par des valeurs quelconques et, par suite, par des valeurs fractionnaires, sans que les règles de calcul soient modifiées; et celte extension sera facilement justifiée, si nous convenons de regarder comme équivalentes les deux expressions

et af,

m et P étant des quantités entières positives quelconques.

Pour que cette convention soit permise, il faut montrer que la valeur de la seconde expression étant indépendante de la

forme donnée à la valeur fractionnaire — > il en sera de même

de la valeur de la première. Supposons, en effet, qu’on ail

ar'.

Je dis qu’on aura aussi

Réduisons ces deux radicaux au même indice; ils deviendront

et '’^a”> .

Mais puisqu’on a

Les deux radicaux, réduits ou non au même indice, sont donc identiques.

Il est utile de remarquer que, pour calculer la \aleur numérique d’une puissance fractionnaire, il faut revenir à la forme