ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE
radicale. Ainsi
i 6 ’ = v'Të’ = ^/4^ = 4’ = 64.
Nous allons étendre maintenant aux exposants fractionnaires les règles démontrées dans le cas des exposants entiers-.
78. Pour multiplier deux puissances entières ou fractionnaires d’une même quantité, on ajoute leurs exposants.
Je dis qu’on a
m n fli^n
aPy^àj — ai’ ».
En effet .
fl? = ^ rt™, nj = )/fè‘,
et l’on a
y7ë‘—’’^an.a"t=’’^a”r*-'‘i’=a « ,
c’est-à-dire aë ».
On peut supposer /n ou n égal k p ou q égal à 1 .
79. Pour diviser deux puissances entières ou fractionnaires d’une même quantité, on retranche leurs exposants.
Je dis qu’on a
JR M AI n
rtë;a»=«ë s’
en faisant toutefois la restriction — >-> restriction qui sera
levee bientôt.
En effet ,
puisque la condition — > - entraîne nécessairement la con-
dition mqf>np‘, on aura donc, en revenant a la notation adoptée,
m n mq — Np «1 R
rtë ; a» = a M = aë ».
On peut supposer m ou n égal à i, p ou q égal à i.
80. Pour élever une puissance entière ou fractionnaire à une autre puissance entière ou fractionnaire, on multiplie les deux exposants.
Je dis qu’on a
\<ic/ —aP ».
En elïel,
ou
algèbre ÉLÉMEMrAIRE.
ri
apy = s v^(a™)" ='’^a""= a«= a? T.
On peul supposer w ou re égal à p ou q égal à i .
81. Pour élever un produit à une puissance entière ou fractionnaire, on peut élever chacun de ses facteurs à cette puissance.
Bt n m m
Je dis que {abc)p= aP .bë .cp. En effet c’est-à-dire
{abc)P = ^{abc)"‘ = ^0".b". c-",
[abc)ë = cT .’y b"' .y (f = a~P .bP . cP .
Des exposants négatifs.
82. De même que la nécessité de conserver aux symboles algébriques toute leur généralité nous a conduit à admettre les exposants fractionnaires, nous devons aussi admettre les exposants négatifs et chercher l’interprétation dont ils sont susceptibles.
Nous avons déjà vu (28) que les exposants négatifs apparaissaient, lorsqu’on voulait étendre la règle de la division des monômes au cas où l’exposant d’-une certaine lettre était plus faible au dividende qu’au diviseur. Supposons qu’on ait l’ex-
pression — • Si m surpasse n, on en déduit immédiatement
— = rf^". .
Mais m étant plus petit que n, l’expression a™-" n’a aucun sens, si l’on s’en tient à la définition générale des puissances. Posons
P étant la différence des deux exposants. On pourra alors écrire
ar^p ce".aP af En appliquant la règle connue, on aura d’ailleurs
rf" a” a^ ^ ■
246 ' ALCÈBIIE ÉLÉMEHTAIRE.
11 est donc naturel d’adniellre ou de convenir que les deux
ejipressions ari’ et ^ sont équivalentes. Il sera facile, d’après
cela , d’étendre aux exposants négatifs les mêmes règles de calcul qu’aux exposants entiers ou fractionnaires.
Il est utile de remarquer que, pour calculer la valeur numérique d’une puissance négative, il faut revenir à la forçae fractionnaire. Ainsi
^ sfÔ} ^8 2V^2
83. Pour multiplier deux puissances positives ou négatives d’une même (juantité, on ajoute leurs exposants.
Je dis qu’on a
En effet
c’est-à-dire, en revenant à la notation adoptée, ar" . ar’t =
On peut supposer m et g positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires.
84. Pour diviser deux puissances positives ou négatives d’une même quantité, on retranche leurs exposants.
Je dis qu’on a
ar"'. a~t =
En effet
rt"
rt»
al
= rtî-".
On peut supposer m et q positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires. •
83. Pour élever une puissance positive ou négative à une autre puissance positive ou négative, on multiplie les deux exposants.
Je dis qu’on a
= fl— n’"r.
En effet
c’est-à-dire
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ALGÈBnE ÉLÉMENTAIRE. 247
On peut supposer m el q positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires.
8G. Pour élever un produit à une puissance positive ou négative, on peut élever chacun de ses facteurs à cette puissance.
Je dis qu’on a
{abc)-"‘ = ar "‘ . b~"‘ . c~“.
En effet ,
' [abc]"' a".6“.c™ a” b" c”'
e’est-à-dire
( abc )“" = a~" ■ b~"' . c~"‘ .
On peut supposer m positif ou négatif, entier ou fractionnaire.
87. On doit remarquer que, par suite de l’emploi des exposants négatifs, les divisions et les extractions de racines carrées inexactes pourront se continuer indéfiniment, de sorte que l’expression du quotient ou de la racine sera composée d’un nombre illimité de termes. Le premier exposant négatif dont sera affectée la lettre ordonnatrice correspondra au premier reste de degré inférieur par rapport à cette lettre, au diviseur ou à la racine.
88. En résumant tout ce que nous venons de dire sur les exposants fractionnaires et négatifs, on obtient les règles suivantes, qui ne sont plus soumises à aucune restriction sur la nature des exposants.
i“. Pour multiplier deux puissances d’une même quantité, on ajoute leurs exposants.
2 °. Pour diviser deux puissances d’une même quantité, on retranche leurs exposants.
3°. Pour élever une. puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants des deux puissances.
4". Pour élever un produit à une puissance, on peut élever chacun de ses facteurs à cette puissance.
