THÉORIE DES PROGRESSIONS

Des progressions par différence.

éO. On appelle progression arithmétique ou par différence une suite de termes tels, que la différence qui existe entre

chaque terme et le précédent est une quantité constante ; cette quantité constante est ta raison de la progression.

Quand la raison est positive, la progression est croissante, c’est-à-dire que ses termes vont en augmentant. Quand la raison est négative, la progression est décroissante, c’est-à-dire que ses termes vont en diminuant. Une progression décroissante n’est d’ailleurs qu’une progression croissante renversée.

t2.5.8.ii 14.17.20.23.26.29...

est une progression croissante dont la raison est 3.

est une progression décroissante dont la raison est —3.

90. Dans toute progression par différence, un terme de rang quelconque est égal au premier augmenté d’autant de fois la raison qu’il y a de termes avant celui qu’on considère.

Soit la progression

Désignons par r la raison de cette progression, et supposons qu’on se soit arrêté au n'’’“ terme. On aura, par définition,

b — a-hr c = b-\-r—a + 2 r d = c -y r= a -i- 3 r e — d-y r = a + ^r

La loi de formation est évidente : le multiplicateur de la raison est inférieur d’une unité au rang du terme, l étant le terme, on aura la formule générale

On en déduit

Comme on peut commencer la progression où l’on veut, cette dernière relation prouve qu’un terme de rang quelconque est égal au dernier diminué d’autant de fois la raison qu’il y a de termes après célui qu’on considère.

91. La somme de deux termes également éloignés des extrêmes est égale à la somme des extrêmes.

Considérons les deux termes T et T' : Ta /> termes avant lui, T' en a /> après lui. On aura

ï = à 4- pr,

T'= l — pr.

alcLbrë élémentaire.

ajoutons ces deux égalités membre à membre : il viendra T4-T' = «+ /.

92. Insérer n moyens arithmétiques entre deux nombres donnés, c’est former une progression dont les deux termes extrêmes soient les nombres donnés, et qui contienne en tout « + a termes.

Désignons par a et / les termes extrêmes de la progression, c’est-à-dire les nombres donnés, par r la raison inconnue de la progression. On aura (90)

d’où

La raison est donc égale à la différence des nombres donnés, divisée par le nombre des moyens à insérer plus i .

Connaissant la raison et le premier terme, on formera immédiatement la progression demandée.

93. Étant donnée une progression par différence, si l’on insère un même nombre de moyens arithmétiques entre ses termes consécutifs, on formera une nouvelle progression par différence qui aura pour raison le quotient de la raison de la première progression par le nombre des moyens insérés entre chacun de ses termes et le suivant, plus i .

Soit la progression

désignons par r sa raison ou la différence qui existe entre un terme quelconque et le précédent, par n le nombre des moyens insérés entre a et b, b et c, c et d,..., h et l. Les raisons des différentes progressions formées auront pour expressions :

/iH -1 /iH-i n-i-i /i-f-i

Elles seront donc toutes égales au quotient De plus, la

première progression finit où commence la seconde, la seconde finit où commence la troisième, etc. Toutes ces progressions forment donc une progression non interrompue ayant pour^ r

raison

94. La somme des termes d’une progression par différence est égale au produit de lu demi-somme des extrêmes par le nombre des termes.

a5o ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Soit la progression

En désignant par S la somme des n premiers termes juscpi’à /, on aura

S ù -l- b c -H d + é* -4- ... // -f- ft' *4- / .

Si l’on renversait la progression, on aurait de même S l “4“ /r b -f“ . . . — 4- € d "4- c “4“ b ■+• a .

Si l’on ajoute alors membre à membre ces deux égalités, il vient

-4- (/i-4-c)H-(/f + 6)-+-(/-4-rt).

Les sommes partielles mises entre parenthèses dans le second membre de l’égalité résultante sont égales à la somme des extrêmes ou à la somme de deux termes également éloignés des extrêmes ; toutes représentent donc la somme des extrêmes (91). Si la progression contient n termes, le second membre de l’égalité considérée renferme n sommes partielles. On peut, par conséquent, poser

aS = (a - 4 - l) n ou

Quand on ne connaît que le premier terme a, la raison r et le nombre n des termes considérés, on peut remplacer dans cette relation / par sa valeur a -4- (n — i) r. Elle devient alors

Remarquons que, dans toute progression par différence, on a à tenir compte des cinq quantités a, /, r, n. S, et qii’on n’a que deux relations entre ces cinq quantités, savoir

/ = « -4- ( n — I ) r et

95. On demande la somme des n premiers nombres entiers : c’est demander la somme des «premiers termes d’une progression par différence ayant i pour raison et pour premier terme. En appliquant la formule

on trouve

ALGÈBRE ÉLÉME.NTAIRE. 25 1

ce que duiiiic immédiatement la formule

en remarquant que / est égal à n.

On demande la somme des n premiers nombres impairs. La raison de la progression est ici égale à 2. Si l’on applique la formule

on trouve

Ainsi la somme des 100 premiers nombres impairs est égale à lou’ ou lOOOU.

Des progressions par quotient.

96. On appelle progression géométrique ou par quotient, une Suite de termes tels, que le rapport de chaque terme au précédent est une quantité constante : cette quantité constante est la raison de la progression.

Quand la raison est plus grande que i , la progression est croissante, c’est-à-dire que ses termes vont en augmentant. Quand la raison est plus petite que i , la progression est décroissante, c’est-à-dire que ses termes vont en diminuant. Une progression décroissante n’est d’ailleurs qu’une progression croissante renversée.

est une progression croissante dont la raison est 2.

est une progression décroissante dont la raison est--

97. Dam toute progression par quotient, un terme de rang quelconque est égal au premier multiplié par U( raison élevée <l une puissance marquée par le nombre des termes qui précèdent celui qu’on considère. •

Soit la progression

Désignons par 7 la raison de cette progression, et supposons

25a AU;£BRE ÉLÉMENTAIRE.

qu'on sesoilurrèlé au w''"” terme. On aura, par dclinition: b = aq c z= bq = aq‘‘ d= cq = aq^ e = dq = aq'

La loi est évidente: V exposant de la raison est inférieur d’une unité au raufr du terme, l étant le ternie, on aura la formule générale

On en déduit

Gomme on peut commencer la progression où l’on veut, cette dernière relation prouve qu’«/i terme de rang quelconque est égal au dernier divisé par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui suivent celui qu'on considère.

D'après ce qui précède, on peut écrire la progression donnée sous la forme suivante,

H a:aq:aq'‘:aq^:aq*: ...:aq"~^:aq"~'‘'.aq’'~'.

Nous avons démontré en Arithmétique (189, note) que les puissances successives d’une quantité plus grande que i pouvaient croître au delà de toute limite donnée, et que les puissances successives d’une quantité plus petite que i pouvaient décroître et tomber au-dessous de toute limite donnée.

Si la progression est croissante et si on la suppose prolongée indéfiniment, aq"-' finira donc par surpasser toute quantité donnée. Si la progression est décroissante et si on la suppose prolongée indéfiniment, aq"-' finira donc au contraire par tomber au-dessous de toute quantité donnée.

98. Insérer n moyens par quotient entre deux nombres donnés, c’est former une progression dont les deux termes extrêmes soient les nombres donnés, et qui contienne en tout n-\-i termes.

Désignons par a et / les termes extrêmes de la progression, c’est-à-dire les nombres donnés, par q la raison inconnue de la progression. On aura (97)

l = aq"-*-',

d’où

= et

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 253

La raison est donc égale à une racine du quotient des nombres donnés, marquée par le nombre des moyens à insérer plus i .

Connaissant la raison et le premier terme, on formera immédiatement la progression demandée.

99. Étant donnée une progression par quotient, si l’on insère un même nombre de moyens entre ses ternies consécutifs, on formera une nouvelle progression par quotient qui aura pour raison une racine delà raison de la première progression, marquée par le nombre des moyens insérés entre chacun de ses termes et le suivant, plus i

Soit la progression ’^.a-.b-.c-.d-.e: . . .:h:k:l. Désignons par q sa raison ou le quotient d’un terme quelconque par le précédent, par n le nombre des moyens insérés entre a et b, b et c, c et <f, . . . , k et l. Les raisons des différentes progressions formées auront pour expressions ;

n+fb C «+‘/r/

V«’ V*’ Vc’-

Elles seront donc toutes égales à De plus, la première

progression finit où commence la seconde, la seconde finit où commence la troisième, etc. Toutes ces progressions forment donc une progression non interrompue avant pour raison "^^q.

100. La somme des termes d’une progression par quotient est égale à la différence qui existe entre le produit du dernier terme par la raison et le premier terme, divisée par l’excès de la raison sur l’unité.

Soit la progression H a : ù : c : rf : e : . . , : A :

En désignant par S la somme des n premiers termes jusqu’à /, on aura

S = rt -1- A + c -f- r/ -H c -f- . . . + A -+- /(■ -|- l .

Multiplions par la raison q les deux membres de cette égalité et remarquons que aq=b, bq = c, cq = d,. . . , kq = l. Il viendra alors

= A-+-c-f-Éf-i-e-4- f-\-.r--hk-yl-{-lq.

Si nous supposons la progression croissante, nous retrancherons membre à membre la première égalité de la seconde, et nous aurons :

Sq — Sz=lq — a ou ?>[q — t)=lq — a, c’esl-à-dire

Iq — a

î54 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Si la progression était décroissante, on retrancherait la seconde égalité de la première, et l’on trouverait

Mais on peut employer indifféremment la première ou la seconde formule, que la progression soit croissante ou décroissante, parce qu’on ne change pas un quotient en changeant à la fois le signe du dividende et celui du diviseur (29).

Reprenons la formule S = On peut y remplacer /

par rtç""'. Il vient alors

nq" — a

Dans le cas de la progression décroissante, oïl aurait

11 serait facile de trouver directement celte formule, en remarquant que la progression peut s’écrire

H a:aq aq^ : aq^ : aq' : .

On a alors

S = rt -f- fig aq' -+■ aq' + aq'

aq’-^ ; aq’

■ aq’

aq’

d’où

Mais la quantité renfermée entre parenthèses représente le quotient de i — q’ par i — q (38). Par suite.

■ aq’

101. La somme des termes d'une progression décroissante indéfiniment prolongée, a pour limite le quotient du premier terme par l’excès de l’unité sur la raison.

Reprenons la formule

a — aq’

On peut l’écrire sous la forme

est une quantité fixe ; q étant plus petit que i, q’ devient

de plus en plus petit à mesure que n augmente; par consé-

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

. q" (levieiu lui-môme de plus en plus

quent, le produit - ^

petit. La somme des termes de la progression, à mesure qu’on en considère un plus grand nombre, s’approche donc constamment de la quantité fixe '■> cette quantité représente

donc la limite de la somme des termes de la progression, lorsqu’on suppose cette progression indéfiniment prolongée.

On peut vérifier à postériori cette valeur S =

-> en

effectuant la division de a par i — q. On retrouve pour quotient illimité la progression

a\ aq'. nq' ; aq' : aq' ; ... : aq”-' ; aq '~' . . .