RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE
Définitions .
105. Nous avons déjà dit (11), à un point de vue très-général, ce qu’on devait entendre par équation. Il faut préciser maintenant notre définition et considérer tous les cas qui peuvent se. présenter.
Soit l’égalité 3x — a =x + 5, où représente une quantité inconnue qui (J^iit précisément être déterminée, de manière à remplir cette condition d’égalité entre 3x — a d’une part et a?-t-5 de l’autre. Il est évident à priori que toutes les valeurs ne pourront pas être mises à la place de x, qu’il n’y en aura qu’un nombre limité d’admissibles : dans le cas examiné, ce nombre se réduira même à une seule valeur, comme nous le verrons bientôt.
Si l’on passe à l’égalité x^ — 3x — i = 'jx — 3x’-|-5, on pourra répéter la même remarque, et elle s’étendra à toutes les égalités qui ne renfermeront qu’une inconnue : le nombre des valeurs admissibles pourra augmenter, il sera toujours limité.
Soit la fonction 5x — 3y=7, déjà indiquée (11), où a: et représentent deux inconnues liées par la relation donnée. Cette égalité pourra, au contraire, être vérifiée ou satisfaite par un nombre illimité de valeurs de x et de ces valeurs devront seulement se eprrespondre de manière que x soit 3 I n
toujours égale à — ^ — -• On poiîrra remplacer l’une des inconnues par une valeur prise au hasard, mais seulement l’une d’elles, et l’autre sera imipédiatement déterminée par le choix fait pour la première. Les valeurs qui satisfont à l’égalité proposée ou qui la vérifient, seront donc en nombre quelconque, mais ne seront pas quelconques.
Si l’on joint à l’égalité 5.r — 3r = 7 une autre égalité
A I.t; i.IlKE Ttl.ÉM ESTAI KE.
a(îo
"] x-h ^\y= >8, cl si la ([iii'stion proposée exige ipie les inconnues X el >• verilient ces deux égalilés à la fols, il est évident il priori que toutes les valeurs possibles, soit jiour x, soit poui\)', ne pourront convenir. Conmie on déduit des égalités floimées
et
si l’on remplace >• par une certaine valeur dans les deux égalilés, il faudra, pour qu’elle soit admissible, qu’on ait aussi pour X une même valeur, c’est-à-dire il faudra qu’on r,t
3jr-f^7 i 8— .
ce qui prouve immédialcmenl i|ue la valeur de j devant vérilier cette nouvelle égalité, ne pourra plus être quelconque. Elle sera même unique et, par suite, aussi celle de x.
Si l’on a deux égalités x’ — ^1=7, x;) ==i2, le nombre des valeurs de x et de pijui vérilieronl à la fois ces deux égalités, pourra augmenter; mais il sera toujours limité, te que nous venons de dire par rapport à deux inconnues, pourra être répété pour trois, pour ipiatre ,. . . , pour nu nombre quelconque d’inconnues.
En résumé, une équation à une inconnue est une égalité qui ne se vérifie que pour certaines valeurs particulières de l'inconnue qui y entre.
Si l’égalité renferme plusieurs iiicoimues, et si la question projiosée ne conduit qu’à celle égalité entre les inconnues cherchées, on peut dire (|u’elle représente encore une équation, mais une équation indéterminée, susceptible d’être vériltce par un nombre illimité de valeurs corri'spondanles des inconnues, mais non jiar des valeurs tout à fait arbitraires.
Si la question à résoudre conduit à autant d’égalités distinctes qu’elle renferme d’inconnues, ces égalités forment ce qu’on appelle un système d’équations ; c’est-à-dire que les valeurs des inâonnues qui vérifient les égalités données se partagent en groupes distincts, lesquels conviennent à la fois il toutes les équations, et ces groupes distincts sont en nombre limité.
Si la question à résoudre conduit à moins d’égalités qu’elle ne renferme d’inconnues, on a un sjslème d’éqiialions indéterminées, sur lequel on fera une remarijuc analogue à. celle déjà indiquée dans le cas d’une seule équation indéterminée.
106. Deux systèmes d’équations sont équivalents, lorsqu’ils admettent les mêmes solutions pour les inconnues quj y entrent. Lorsipi’il ne s’agit que de trouver les valeurs des incon-
ALGÈBRE ÉLÉME.M'AIRE. 261
nues, on peut remplacer l’un [lai- l’aulre deux sjslémes éqiiivalenls.
Les solutions cherchées, c’est-à-dire les valeurs qui, mises à la place des inconnues, vérilient ou satisfont les équations proposées, s’appellent leurs racines'.
107. Lorsque les deux membres d’une égalité sont identi- (|ues, elle prend le nom iVUlenlité.
On appelle encore identité \i\\q équation qui peut être satisfaite par un nombre (luelconque de valeurs de l’inconnue, (’e n’est plus alors une équation : c’est la représentation symbolique d’une règle générale de calcul algébrique. Ainsi
[a — xY = à‘ — 2 ax-{-x'‘, o.j: = o.
Résoudre une équation ou un système d’équations, c’est chercher les racines correspondantes. Pour que les racines soient exactes, elles doivent transformer l’équation ou les équations proposées en égalités proprement dites; puis, tous les calculs étant effectués, en identités.
108. On entend par degré d’une équation, la plus grande somme des exposants des inconnues dans un même terme.
L’équation 5x — 7 = 24 + 25 ; est une équation du premier degré à une inconnue.
■ L’équation i5 )• — 65 : =y est une équation du premier dçgré d deux inconnues.
Les équations 85 :- — Zx=-i. et l>x'‘y — = axK+Sa; sont ; la première une équation du second degré ii une inconnue, la seconde une équation du troisième degré à deux inconnues.
On a classé les équations d’après leur degré, c’est-à-dire d’après la difficulté môme de leur résolution.
Principes généraux applicables à la transformation des équations.
109. 1. On ne change ni lu valeur ni le nondtre des racines d’une équation, en augmentant ou en diminuant ses deux membres d’une même quantité.
Soit l’équation A = 11. m étant une (juantité quelconque, je dis que les deux équations
A = li,
sont équivalentes.
Les racines de la psemière équation, mises à la place des inconnues qu’elle renferme, donnelit A = B. Si à ces deux quantités égales, j’ajoute algébri(|uement (là) une même quantité m, j’obtiendrai deux .sommes égales. Les mêmes valeurs des Lnconnucs donnent doue aussi A m = B -t- m.
ALGÈBUE ÉLÉMEMAIRE.
lléclproquenienl, les racines de l’equallon +
rendent ses deux membres égaux, lorsqu’on les substitue à la place des inconnues qu’elle renferme. Si des deux quantités égales obtenues je retranche algébriquement (15) une même quantité m, j’obtiendrai deux restes égaux. Les valeurs des inconnues qui donnent A + m = B + m donnent donc aussi à leur tour A=B, et les deux équations considérées sont bien équivalentes (106).
Il suit du principe démontré, qu’o« peut transporter un terme d’une équation, d’un membre dans l’autre, pourvu qu’on change son signe.
Soit l’équation
'ix — 8 = 0 ^ + 9 .
On peut ajouter — x aux deux membres de celte équation. On aura
Le terme x du second membre passe ainsi dans le premier, mais avec un signe contraire.
110. 11. On ne change ni la valeur ni le nombre des racines d'une équation, en multipliant on en divisant ses deux membres par une même quantité.
Soit l’équation A =B. m étant une quantité quelconque férente de zéro, je dis que les deux équations
sont équivalentes.
Les racines de la première équation, mises à la pl^ce des inconnues qu’elle renferme, rendent le facteur A égal au facteur B. Si je multiplie ces deux facteurs égaux par un même facteur m, j’obtiendrai deux produits égaux. Les mêmes valeurs des inconnues rendent donc aussi le produit km égal au produit Bm.
Réciproquement, les racines de l’équation km = Tim rendent ses deux membres égaux, lorsqu’on les substitue à la place des inconnues qu’elle renferme. Si je divise les produits égaux obtenus par une même quantité m différente de zéro, l’obtiendrai des quotients égaux. Les valeurs des inconnues qui rendent km égal à B /h, rendent donc aussi A égal à B, et les deux équations considérées sont bien équivalantes.
On doit faire la restriction indiquée, ciest-à-dire supposer le multiplicateur m différent dt> ^éro, car la multiplication des deux membres d’une équation par zéro la transforme en une identité satisfaite par toutes les valeurs possibles mises à la place des inconnues (107).
algèbre élémentaire. 263
11 en résulte que le multiplicateur employé ne doit pas en général renfermer les inconnues. Prenons un exemple trè*- ‘ simple. Soit l’équation.
Multiplions ses deux membres par le facteur x — i qui devient nul pour = I ; nous aurons
La première équation est évidemment satisfaite par 2 t = 6; la seconde l’est à la fois par x = 6 et par x=\. On ne peut donc plus dire que ces deux équations sont équivalentes.
En général, lorsqu’on multiplie les deux membres d’une équation par un facteur contenant les inconnues, on augmente le nombre des racines de l’équation, et les solutions étrangères introduites sont précisément celles qui annulent ce facteur. Je suppose ici que l’équation considérée ne renferme pas les inconnues en dénominateur.
Puisqu’on peut multiplier les deux membres d’une équation par une quantité quelconque, on peut aussi les diviser par une quantité quelconque. En effet, la division par un nombre p
revient à la m'ultiplicatlon
Il ne faut pas en général que le diviseur employé renferme les inconnues.' Reprenons l’exemple ci-dessus, et soit l’équation
Cette équation admet les racines a: = 6 et a: = 1 ; si l’on divise ses deux membres par le facteur j? — 1, l’équation obtenue
n’admet plus que la racine ^ = 6.
En divisant les deux membres d’iiiie équation par un facteur contenant les inconnues, on diminue donc le norftbre des racines de l’équation, et les solutions supprimées sont précisément celles qui annulent ce facteur. Si l’on a intérêt à le faire disparaître, il faut donc mettre avec soin de côté les racines qui lui correspondent, afin d’en tenir compte une fois la question proposée entièrement résolue.
111 . Le principe démontré permet de faire disparaitee tous les dénominateurs d'une équation.
On cherchera le plus petit multiple commun de tous ces dénominateurs, on multipliera les deux membres de l'équation par le nombre obtenu, et tous ses termes deviendront évidemment entiers.
264 ALGÈBRE ÉLÉMEKTAIRE.
Je suppose ici que les inconnues n entrent dans aucun dénominateur, j’examinerai plus loin ce cas parliculier.
Soit l’(?(iuation
Le plus petit multiple commun des dénominateurs 3(), 14 et 1?. est 252. Je multiplie tous les termes de l’équation par 252,
OC
en remar(fuant que pour multiplier, par exemple, ^ par
252 = 36 X 7, il suffit de supprimer le dénominateur 36 et de multiplier le numérateur x par 7, quotient de 2.52 par 36. L’entier — 5 devra être multiplié par 2.52. On supprimera le déno-
minateur i4 du terme —7, et l’on multipliera son numérateur
3 par 18, quotient de 262, par i4- H faudra de même multiplier — ') X par 21, (|uotient de 2.52 par 12, et supprimer le dénominateur 12. L’équation, débarrassée de scs dénominateurs, deviendra
Là règle suivie peut être résumée ainsi : Réduire tous les termes de l’équation au plus petit dénominateur commun, en donnant le dénominateur i aux termes entiers^ et supprimer ensuite ce plus petit dénominateur commun.
Le principe démontré permet aussi de simplifier une équation, en supprimant les facteurs communs que ses deux membres peuvent présenter.
Si l’on a l’équation
81 a'hx-\- 27 a‘ 54 «’ b' — 63o’x,
on pourra diviser ses deux membres par le facteur 90’ commun à tous ses termes, et elle deviendra
9 abx -|-,3 b' = 6 b ' — qx.
112. 111. Lorsqu’on élève à une même puissance les deux membres d'une équation, on augmente en général le nombre des racines de l'équation.
Soit l’équation
En élevant les deux membres à la puissam e m, on obtient l’équation
On peut écrire les deux équations considérées sous la forme
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. a65
Nous savons que la quaiiUlé — B” esl toujours divisible par la quantité A — B (38). Désignons par Q le quotient de cette . division. L’équation A" — B'" = o pourra s’écrire
Pour qu’un produit soit nul, il suffit que l’un de scs facteurs soit nul. On satisfera donc à l’équation en posant séparément
et l’on voit alors (ju’elle admet non-seulement les racines de l’équation A — B =o, mais encore celles de l’équation Q= o.
Si l’on élève, par exemple, l’équation A = B au carré, il vient
d’où
Le premier membre étant la différence de deux carrés, je le transforme en un produit de deux facteurs (24, II), et j’obtiens
Le facteur A — B égalé à zéro reproduit l’équation primitive A = B, le facteur A -t-B égalé à zéro fournit les racines ajoutées qui correspondent à l’équation A = — B.
Résolntion des équations du premier degré à une seule inconnue.
113. Les principes énoncés jusqu’à présent suflisent pour résoudre une équation quelconque du premier degré a une inconnue.
Soit l’équation
