SL
36ooo
119. Chercher la formule générale de Id valeur actuelle d’un billet et celle de l’escompte en dedans [Arith., 268).
Soit à escompter un billet C, payable dans un nombre de mois représenté par m, le taux étant toujours t pour loo.
Représentons par x la valeur actuelle du billet, c’est-à-dire ce que doit payer le banquier au possesseur dû billet. Nous savons que la valeur actuelle augmentée de ses intérêts doit reproduire le montant du billet. En appliquant la formule précédente, on aura donc
xtm
d’où
X (i 2 oo -f- tm) — 1200 C
et
1 200 -I- tni
On peut diviser la valeur de x haut et bas par 12 : elle prendra la forme
tm
ALGÈBRE KLÉMEMTAIRE.
— représente riiilérél rapporté par loo francs placés dans les
mêmes condilions que la valeur actuelle du billet. Désignons cet intérêt par t', et il viendra
looC
1 lOO -h /
La différence entre le montant du billet et sa valeur actuelle représentant l’escompte en dedans, on aura pour cet escompte E la formule générale
looC looC + C/' — looC E = C-x=C-^^-,=
c’est-à-dire
Cf
loo H- f
Comme application de ces formules, supposons qu’on doive aujourd’hui une somme A, et qu’on veuille s’acquitter au moyen de trois billets égaux payables : le premier dans m mois, le second dans n rnÿis, le troisième dans p mois. Soit X le montant inconnu de chacun de ces billets : on aura pour la valeur actuelle du premier
lOO X
lOO -t- ’
en désignant par f la quantité— • En désignant de même par
l" et f" les quantités — et les valeurs actuelles des deux
autres billets seront représentées par
looX looX
I oo 4- <" ^ I oo -f- 1”'
La somme des valeurs actuelles des trois billets doit reproduire la dette actuelle A. L’équation du problème sera donc
d’où
loo X
lOO ■
loo X
t" lOO -l- t
lOO
On peut remarquer que les fractions dont la somme forme le dénominateur de l’expression de X, représentent les valeurs actuelles des billets de i franc placés dans les conditions des billets qu’on veut souscrire. La règle générale à suivre pour tous les problèmes analogues est donc facile à formuler.
\LGÈBnE ÉLÉMENTAIRE.
120. Lue montre marque midi, c’est-à-dire que ses deux aiguilles sont l'une sur Vautre. On demande à quelle heure la nouvelle superposition des aiguilles aura lieu.
Représentons par x le clieiniii parcouru par la grande aiguille, depuis midi jusqu’à la rencontre cherchée, ce chemin étant é^primé en divisions du cercle gradué de la montre. La petite aiguille parcourant 5 divisions en une heure, tandis que a grande aiguille en parcourt 60, la petite aiguille va 12 fois moins vite que la grande. Pendant que la grande aiguille dé-
crira l'arc x, la petite aiguille parcourra donc un arc égal à — •
Il est évident d’ailleurs que la grande aiguille dépassant d’abord la petite aiguille pour venir la recouvrir de nouveau, décrit 60 divisions de plus. On aura, par conséquent, l’équation
ou
On en déduit
X = = fao H
I ( Il
Les divisions de la montre représentant des minutes, cette va-
leur de x indique qUe la rencontre aura lieu à i'* S"* — ou à
Le même intervalle de temps séparera les rencontres successives.
En 12 heures, de midi à minuit, il n’y aura évidemment que 1 1 rencontres, en ne comptant pas celle de midi et en comptant celle de minuit : en effet, il n’y a pas de rencontre entre midi et i heure.
121. La distance entre Paris et Rouen est égale à kUoni. Le quintal métrique de charbon coûte 4'^'',25 d! Paris et 4^^75 à Rouen, Les frais de transport par le chemin de fer étant évalués à par tonne transportée et par kilomètre parcouru, on
demande de déterminer le point du chemin pour lequel il est indifférent de s’approvisionner à Rouen ou à Paris.
Appelons x la distance du point cherché à Paris, sa distance à Rouen sera en kilomètres exprimée par iS^ — x.
Une tonne de charbon, achetée à Paris, sera payée en ce point
42, 5o -I- O, OC). X.
Au même point, une tonne de charbon, achetée à Rouen, sera payée
ALGÉHnE ÉLÉMEMAIUE.
.r devra donc vérifier ré(]iuition
On en déduit
d’on
O, iS.Æ.’ = 5 -t- 0 ,09. 1 37 =; 1 7 ,33,
X— — — rr =<)b''”, 277 ....
On ilevra donc s’approvisionner à Paris si l’on en est à moins de 96*‘'',a77..., et, à Itouen, dans le cas contraire.
H2. Soit un nombre X inconnu, correspondant à une f^ran- \
deur quelconque, à partager de la manière suivante : pour for- 1
mer la première part, on prélève sur x une quantité a, et on ajoute à cette quantité la n'^"’ partie du reste x — a. Pour former, la deuxième part, on prélève % a plus la n''"’' partie de ce qui reste quand on a diminué x de la première part et de la quantité -z a ; pour former la troisième part, on prélève Z a plus la n‘‘’“ partie de ce qui reste ; et ainsi de suite. Le partage se j
termine exactement, et toutes les paris se trouvent égales. i
On demande de déterminer x d’après cette condition, les >
quantités a et n étant données. On. demande aussi le nombre des parts et leur valeur commune.
La première part est a H —
Elle doit être égale à l’une quelconque des autres parts, la [p-\- i)''"' par exemple. Formons l’expression de cette part.
Elle sera représentée par {p-^\)a, plus la partie de x diminué des p premières parts ou de p fois la première, et 'encore de {p-^i)a, c’est-à-dire que l’expression cherchée sera
^]-lA
') -hi) a
L’équation du problème sera donc
rt-h
>+fa-\-
Si le problème est possible, la quantité indéterminée p, qui caractérise le rang de la part égalée à la première, devra disparaître; en effet, la première part devant être égale à l’une quelconque des autres parts, l’expression de l’égalité de ses parts ne peut pas dépendre de leur rang.
En multipliant par lO les deux membres de l’équation, on
ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
aura
nn} -\-nx — an-= patV-\- an'' -I- n.r — pan — px -(- pa — pan — an. Si l’on simplifie, il viendra
o=p[an' — 2 ««-+-« — x],
d’où, en divisant les deux membres par p qui ne peut pas être nul, •
x — an' — 7.an-^ a = a{n' — in -h i ] = n (« — i )’.
La première part et toutes les autres seront donc égales à
an' — ian + a — a , .
•a-\ = n-\-an — ia = a\n — i),
Le nombre des parts sera par suite égal à
= rt — I .
123. Quel que soit le problème proposé, il s’agit toujours de déterminer les inconnues de manière à rendre certaines quantités égales entre elles : on doit donc examiner attentivement l’énoncé, afin de former l’expression de chacune de ces quantités en fonction des inconnues et des données; et en écrivant les égalités correspondantes, on obtiendra les équations du problème.
