CHAPITRE II

DISCUSSION DE LA FORMULE GÉNÉRALE DE RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ A UNE INCONNUE.

124.' Quelle que soit l’équation donnée, on pourra toujours, dans chaque membre, réunir respectivement en un seul terme tous les termes qui contiennent l’inconnue et tous ceux qui ne la contiennent pas. De sorte que la forme la plus générale de l’équation du premier degré à une inconnue sera

Aa; -I- B = A' a: B'.

A, B, A', B' sont des quantités littérales ou numériques, monômes ou polynômes, positives ou négatives. En faisant passer le terme' A' a* dans le premier membre et le terme B dans le second, pn aura

Aar — A'ar = B'— B,

ALGÈBRE ÈLÉMENTAll^E.

d’où

et

Cette dernière équation, équivalente à l’équation proposée, ne peut être satisTaite que pour la valeur x= i telle est

donc l’expression générale de la racine cherchée. Cette expression prouve que la racine existe toujours et qu’elle est unique.

On peut, à l’aide de la formule trouvée, résoudre une équation quelconque du premier degré à une inconnue.

Soit l’équation

On a, dans ce cas.

Mais la résolution directe de l’équation du premier degré à une inconnue est si simple, qu’on n’opère jamais par substitution.

125. Si la formule conduit pour x à une valeur positive ou négative, cette valeur satisfera nécessairement à l’équation, comme on peut s’en convaincre en remarquant que l’expression générale ? — mise à la place de x dans l’équation

générale \x+B = k' x -h B' , conduit à une identité.

Mais les valeurs mises à la place des lettres A, B, A', B', peuvent conduire pour x à des valeurs singulières qu’il s’agit d’interpréter. Ces valeurs particulières se présenteront lors-

qu’un des termes de l’expression fractionnaire les deux deviendront nuis.

-, ou tous

I®. Si l’on a B' — B = o, sans que A — A' soit nulle, on trouve x = o. L’équation se réduit dans ce cas à kx = k' x, puisque B = B' ; et elfe ne peut être satisfaite que par la valeur x = a, puisque A est différent de A'. Ce ras rentre dans les solutions

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

ordinaires, o est une racine loul aussi admissible que j,

— 3, etc.

2”. Si l’on a A — A'=o, sans que B' — B soit nulle, la valeur de X se présente sous la forme

ni

en posant B' — B= m, quantité positive ou négative différente

de O. Ce symbole ^ n’a aucune signification, si l’on se borne

à la définition générale du rapport. Pour pouvoir l’interpréter, remontons à l’équation proposée. Puisque A = A', elle devient dans le cas examiné

Aar + B = A2:-|-B'. *

Quelle que soit la valeur attribuée à x,\e premier terme du pre- , mier membre sera égal au premier terme du second membre; mais les seconds termes des deux membres étant différents, on

ne pourra jamais arriver à l’égalité. Le symbole — indique donc

l’impossibilité absolue de satisfaire à l’équation.

Cherchons à interpréfer directement le résultat ~ A la place

de O, mettons le dénominateur A — A'. Supposons d’abord que la différence A — A' ne soit pas nulle et qu’elle passe par des valeurs de plus en plus petites 0,1,0,01, 0,001, ..., 0,000001, etc. 2; prendra successivement les valeurs de plus en plus grandes

ou

10 m, 100 /n, iooQ , 1000000 m, ... .

A mesure que A — A’ se rapproche de o, ]a valeur de x croît donc continuellement de manière à pouvoir surpasser toute qqantité donnée. C’est pour cela qu’on donne à la valeur limite

^ le nom de valeur infinie ou non susceptible d’expression numérique, parce qu’elle est plus grande que toute quantité donnée. On indique Y infini soit par l’expression — » soit par le signe 00 .

En revenant à l’équation A a: 4- B = Aa:4-B', on voit que l’Algèbre ne peut répondre que par un pareil symbole. Si x est infini, les deux membres deviennent infinis, et leur différence

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

relative — disparatl. Si l’on a cl si l'oi»

fait xz=zi, la différence des deux membres est 2, et cette différence est considérable, eu égard aux valeurs 4 et 2 des deux membres. Mais si l’on fait x= i 000000, la différence des deux membres, toujours égale à 2, est insignifiante eu égard à leurs valeurs iooooo3 et 1000 001.

3“. Si l’on a à la fois B' — B = o et A — A'=o, la valeur de a: se présente sous la forme

Ce symbole n’a aucune signification, si l’on se borne à la définition générale du rapport. Pour pouvoir l’interpréter, remontons à i’équalion proposée. Puisque l’on a A = A'ei B = B', elle devient dans le cas examiné

Ax-|-B = AÆ:-f-B.

Quelle que soit la valeur attribuée à x, le premier membre sera toujours égal au second; l’équation se transforme en identité, et la valeur de x est complètement arbitraire. Le symbole ^ indique donc l’indétermination.

On aurait pu interpréter directement ce symbole, en remarquant que le diviseur multiplié par le quotient devant toujoursTeproduire le dividende, le quotient peut être quelconque lorsque le dividende et le diviseur sont nuis.

126. 11 faut bien comprendre que, si l’expression de l’inconnue est fractionnaire, elle peut se présenter sous la forme ^

sans qu’il y ait réellement indétermination. Il suffit qu’on ail oublié un facteur commun aux deux termes de la fraction, el que les hypothèses particulières qu’on a faites le rendent nul,

pour que la valeur ^ apparaisse. Si la véritable valeur ainsi

masquée n’est pas -* on dit que l’indétermination n’est qu’a/>parente.

Soit, par exemple, l’expression

a‘‘ — lé

Si l’on suppose a = b, elle prend la forme

algèbre élémentaire.

Mais on peut écrire le produit {a -h b) {a — b) à la place de Oïï ''oil alors que le facteur a — b est commun aux deux termes de la fraction, et qu’il devient nul pour a — b. Si l’on a le soin de le supprimer avant toute substitution, l’expression devient

.p— (« + fe) (a — 6) a — b

et sa véritable valeur pour a = b est

xz=7.a.

De même, l’expressjpn f ^ f devient - pour x = i.

Il en résulte que les deux termes de la fraction sont divisibles par le binôme .r — t (36), qui prend la valeur o pour ar = i . Si 1 on simplifie d’abord la fraction en la divisant haut et bas

para? i, elle prend la forme — et la valeur x — i

ar-)-4

conduit au résultat — %•

127. Il est bon de noter que l’indétermination peut affecter d’autres symboles que le symbole - • ’

La fraction jg- équivaut à A X g* Si l’on suppose A = o

et B = O, l’expression ^ équivaut donc à l’expression oXou ox 00 .

De même la fraction peut encore s'écrire sous la forme — » H I

et si l’on suppose A = o et B = o, on voit que les ex 4 )Ves-

sions ~ et — spnt encore équivalentes.

Enfin la différence — r-g- peut se mettre sous la forme — —y

et si l’on suppose encore A = o et B = o, on en conclut l’équivalence des expressions - et oo — oo .