Les symboles o x oo , —, oc — ao , peuvent aussi cor

respondre à une indétermination apparente qu’on ne pourra plus faixc disparaître de la même manière.

2J8 ALGÈDIVE ÉLÉMENTAIRE.

Soit, par exemple, l’expression

X* — 3.r’4-2ar — i 3x' — x^-h ^

Si l’on suppose que x croisse indéfiniment, les deux termes de la fraction croissent indéfiniment, et, à la limite, l’expression donnée prend la forme Pour s’assurer de la réalité de l’indétermination, on divise les deux termes para:'. Il vient

Si X augmente alors indéfiniment, tous les termes du numérateur et du dénominateur tendent vers zéro, excepté i et 3.

La véritable limite de la fraction est donc

Si l’on avait l’expression

7 a; — 5 — ar%

et si l’on faisait croître x indéfiniment, on aurait pour limite l’expression eo — oo . L’indétermination n’est-elle qn’apparente? pour en juger on multipliera haut et bas l’expression donnée par la somme \fx’-h 7 a: — 5 + x', et elle deviendra évidemment

\Jx‘ -i- 7 a: — 5 -I- a:’.

En divisant alors ses deux termes par J?', on trouvera

en se rappelant que, pour introduire un facteur tous un radical, il faut l’élever à une puissance marquée par l’indice du radical. Si l’on suppose maintenant que x augmente indéfiniment, tous les termes du numérateur et du dénominateur tendront vers zéro, sauf le terme — i ; de sorte que la véritable

limite de l’expression sera — ^ ou — eo .

129. Nous avons réservé (110) le cas où l’inconnue entrait en dénominateur. Nous pouvons maintenant le considérer.

Soit l’équation

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

Si l’on suit la règle donnée (111) pour faire disparaître les dénominateurs d’une équation, on arrive à l’équation

x‘‘ — 3 x + 2 — 2. = x^ — 2x-i-ix — 6 ou — ^x = — 6.

On peut changer les signes des deux membres de cette équation, ce qui revient à les multiplier par une même quantité — i. On a alors

^x — &, d’où a? = -.

Mais on a multiplié parla quantité x — 2, qui contient l’inconnue, les deux membres de l’équation proposée : on peut donc craindre d’avoir introduit des solutions étrangères (110).

Remarquons qu’on peut réunir tous les termes de l’équation dans le premier membre, de manière que le second membre soit O ; puis réduire tous les termes du premier membre au même dénominateur x — 2. On mettra ainsi l’équation sous la forme

Pour qu’une fraction soit nulle, il faut que son numérateur soit nul sans que son dénominateur le soit, ou bien que son dénominateur soit infini sans que son numérateur le soit (*).

On satisfera donc à l’équation en posant 6 — 4-*^ = o> ce qui conduira à la solution déjà trouvée, solution admissible,

puisque x = - ne rend pas nul le dénominateur x — 2.

On y satisfera encore en cherchant les valeurs qui rendent le dénominateur infini. 11 n’y a évidemment que la valeur X = 00 qui retinsse cette condition ; mais elle rend le numérateur infini. Pour lever l’indétermination (128), on divisera les deux termes.de la fraction par x, et l’on aura

En faisant x = 00 , on trouve que la fraction a pour limite la

(*) Il est évident qu’une rraclioii dont le numérateur lend vers une valeur finie et dont le dénominateur peut prendre une valeur plus grande que toute quantité donnée, converge vers zéro.

a8o AI.GÈBKE ÉLÉMENTAIRE.

\aleur — 4- La valeur a? = oo ne convient donc pas et doit être rejetée.

Cet exemple très-simple montre que la suppression du dénominateur commun, lors même qu’il contient rinconnuc, n’entraîne, en général, la suppression d’aucune véritable solution, et que les solutions qu’on pourrait ainsi négliger sont des solutions infinies que le problème n’admet ordinairement pas. Dans tous les cas, on voit qu’il est facilô d’en tenir compte. On peut remarquer que, pour que les solutions infinies soient possibles, il faut que le degré du dénominateur surpasse celui du numérateur.

Soit encore l’équation /

En opérant comme nous venons de l’indiquer, on la mettra sous la forme

Si l’on pose le numérateur x ^ — ']x -f- 6 = o, on trouve pour racines, comme nous le verrons plus tard, les nombres 6 et.i. , Mais la solution x= i rend aussi le dénominateur x — i égal

à zéro, de sorte que la fraction prend la forme On est ainsi

averti que ses deux termes admettent le facteur x — i, qu’il faut avant tout faire disparaître. Il reste alors x — 6 = o; ce qui montre que la seule solution admissible est ar = 6. Il faut donc avoir soin de rejeter les solutions données par le numérateur égalé à zéro, lorsque ces solutions annulent aussi le dénominateur commun.

En résumé, la règle pratique sera de faire disparaître les dénominateurs contenant l’inconnue comme ceux qui ne la contiennent pas, et de supprimer ensuite cel^s des solutions trouvées qui annuleraient le dénominateur commun obtenu.