CHAPITRE III

RtSOUiTlON D UN NOMBRE QUELCONQUE D’ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ, EN NOMBRE ÉGAL A CELUI DES INCONNUES

Théorèmes généraux concernant les systèmes équivalents.

130. 1. Deux systèmes d’équations sont équivedents, lorsque le second système ne diffère du premier que par des équations •

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

obtenues en ajoutant ou en retranchant membre à membre quelques équations du premier système.

Soit le syslcine d’équations À =B, A' = B', A"=B". Pour plus de généralité, multiplions respectivement les deux membres de chacune de ces équations par des quantités quelconques «i, H, p, différentes de zéro. Nous savons (110) que le système

sera complètement équivalent au système proposé. Je dis alors que le système

est équivalent au système précédent, et par suite au système donné. En effet, les valeurs des inconnues qui vérifient le système (i) vérifient les deux premières équations du système (a), Ces valeurs rendant Am = B/n, A'n=B'«, k"p = Wp, rendent nécessairement la différence km-y- k'n — k" p égale à la différence Bm -+-.B'n — B"^, c’est-à-dire satisfont aussi à la troisième équation du système ( 2 ).

Réciproquement les valeurs des inconnues qui vérifient le système ( 2 ) vérifient les deux premières équations du système (i), puisque ces équations sont communes aux deux sys- ^^èmes; elles rendent donc la somme Am-l-A'w égale à la somme ^Bm-(-B'n.Elles rendent de plus la différence (km-y-k'n) — k"p égale à la différence (Bm-»-B'n) — W p. Il faut donc que le terme k" p soit égal au terme Wp, c’est-à-dire que les valeurs considérées satisfont aussi à la dernière équation du système ( 1 ). Les systèmes (i) et ( 2 ) sont par conséquent équivalents.

131. II. Etant donné un système d’équations, si on résout l'une des équations du système par rapport à l’une des inconnues qui y entrent, c’est-à-dire si on isole cette inconnue dans le premier membre de l’équation considérée, on peut remplacer cette inconnue par la valeur obtenue, dans toutes les autres . équations du système.

Soient les équations A = A', B = B', C = C', contenant, pour fixer les idées, les inconnues x, y, z.

La forme la plus générale d’une équation du premier degré à plusieurs inconnues est évidemment :

' Car on peut toujours réunir dans le premier membre les termes

I A wn- k'n — k"p — Bm -f- B're — B"p,

km =zBm, k' n = B'n,

(IX — h ) * cz H— du -4— • . • — Iv •

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ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE

qui conliennenl les inconnues, dans le second membre ceux qui ne les conliennenl pas: puis rassembler en un même coefficienl numérique ou lillérai, monôme ou polynôme, posilif ou négalif, toules les quanlités qui mulliplienl une même inconnue. On peul de même représenler le second membre par une seule lellre.

Ceci posé, si l’on résoul la première équalion par rapporl à X, en regardani x comme seule inconnue, el qu’on oblienne ■r = D (D éiani une cerlaine fonclion de y^el de z), on pourra remplacer x par D dans les deux aulres équalions du syslèm qui deviendronl alors B, = B', el Ci =C,.

Il faul prouver que le syslème

el le syslème

Ci=C,. •

sonl équivalënls.

L’ équalion A — A.' el l’équallon x = î) sonl idenliques; car, pour passer de la première à la seconde, on a seulemeni iransporlé dans le second membre les lermes en jr el en z, el l’on a divisé les deux membres par le coefficienl de x (113).

Les deux aulres équalions de chaque syslème ne diffèreni que par la subslilulion de D à la place de 2 : ou de 2 : à la plac^^ de D ; de sorle que ce simple changemenl permet de passe^^ d’une équation du premier syslème à l’équalion correspondante du second système. Or, remplacer directement x par sa valeur ou remplacer et z par les leurs, dans une expression D qui se réduit à cette même valeur de x, c’est tout un. Les deux systèmes sonl donc bien équivalents.

Remplacer ainsil’inconnue X par sa valeur D en fonclion des aulres inconnues et z, c’est éliminer x. D’une manière générale, éliminer une quantité, c’est la faire disparaître des calculs subséquents.

Résolution de deux équations du premier degré à deux inconnues.

132. Soient les deux équations du premier degré à deux inconnues.

Considérons-les un moment sous la forme générale A = A',

algèbre: ÉLÉMEMTAlREt

B= B'.Le sjslèine

Aw = B»i ) I A — B

Am— A'/i = Bm — B'n j ( Am — A'/i = Bm — B'n

sera, d’après ce qui précède (130), équivalent au système proposé ; mais l’on peut choisir les multiplicateurs m et n de manière à éliminer l’inconnue x, par exemple. Il suffit de faire en sorte que les coefficients de x soient égaux dans les équations Xm = Bm, A'« = B'/i. Si ces coefficients sont de même signe, en retranchant alors les deux équations membre à membre, l’équation résultante Am — S!n = B m — B'n ne contiendra plus que l’inconnue^ dont elle fournira immédiatement l’unique valeur ; et cette valeur, mise à la place de y dans l’équation A=B, permettra d’en déduire x.

Si les coefficients de x dans les deux équations Am = Bm, A'n = B'n, étaient de signes contraires, on ajouterait les deux équations.

Revenons aux équations proposées. Je multiplierai les deux membres de la première par 2, coefficient de x dans la seconde, et les deux membres de la seconde par 5, coefficient de X dans la première. J’obtiendrai

lox — 6^'= 18, lox -i- 35j= 100.

Je retrancherai alors membre à membre la première équation de la seconde ; l’équation résultante sera

35y -I- 6y = 100 — 18 ou

On en tire

Cette valeur y= 2, substituée dans l’équation 5x — 3^ =9, donne

5x — 6 = 9 ou 5x=i5 et x

Les équations proposées sont donc satisfaites pour les valeurs x = 3 ely= 3, et seulement pour ces valeurs. La vérification réussit :