Rejirenons les équations

Sa?— 37=9,

et appliquons à leur résolution une autre méthode très-générale, basée sur le théorème II ( 131 ).

Résolvons la première équation par rapport à a?. Nous aurons

DigilI’''C l'v

t'.ooglc

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 285

Substituons cette valeur de x dans la seconde équation qui deviendra

Le système obtenu

5(îa^)3r=9,

est équivalent au système proposé.

Soient « et 6 les valeurs qui satisfont au premier système t on aura

Substituons ces valeurs dans le second système : il prendra la forme

20 — nh

Mais l’égalité et l’égalité

sont identiques, les valeurs qui satisfont à l’une satisfont donc à l’autre. Dès lors l’égalité

est aussi satisfaite par les mêmes valeurs a et h, puisqu’elle devient

Ceci posé, l’équation

ne contenant plus que conduira immédiatement à la valeur de cette inconnue. En suivant la marche indiquée et en effectuant les calculs, on en déduira

d’où

— 4 *r = — 02 et r=7- = 2.

a86 ALGÈBRE ÉLÉMEHTAinE.

Transporlani celte valeur de y dans l’expression x on aura

Cette seconde méthode porte le nom A’ élimination par substitution. Elle consiste à résoudre l’une des équations du système par rapport à l’une des inconnues qu’elle contient, et à substituer la valeur obtenue dans l’autre équation qui ne renferme plus alors qu’une inconnue.

Résolution d’un nombre quelconque d'équations du premier degré-

13i. Nous supposerons d’abord le nombre des équations égal au nombré des inconnues.

Soient, pour fixer les idées, six équations à six inconnues X, y, Z, U, V, t. On éliminera l’une des inconnues, x par exemple, entre la première équation et chacune des cinq suivantes, en employant l’une des deux méthodes générales que nous venons de développer relativement à un système de deux équations à deux inconnues. On obtiendra ainsi, d’après les théorèmes I et II (130, 131 J, un système équivalent au systèitie proposé. Ce système équivalent sera formé de six équations, l’une contenant toutes les inconnues et qu’on réservera pour la détermination de x, les cinq autres ne contenant plus que les cinq inconnues y, z, u, v, t. On aura donc, en réalité, remplacé le système donné par un système contenant une équation et une inconnue de moins. Pour résoudre ce nouveau système, on éliminera de même l’inconnue r par exemple entre la première équation et chacune des quatre autres. Le système équivalent au précédent qu’on obtiendra ainsi, sera formé de cinq équations, l’une contenant les cinq inconnues et qu’on réservera pour la détermination de y, les quatre autres ne contenant plus que les quatre inconnues z, u, v, t. On aura, par suite, remplacé en réalité le second système considéré par un troisième système contenant encore une équation et une inconnue de moins. Chaque nouvelle élimination diminue ainsi la difficulté, et on arrive forcément, en continuant de la même manière, à un cinquième système de deux équations à deux inconnues et à un sixième système ne contenant plus qu’une équation à une inconnue. Le système proposé se trouve alors remplacé par un système équivalent composé do six équations : la première renferme les six inconnues du problème, les suivantes chacune une inconnue de moins, de sorte que la sixième n’en renferme plus qu’une seule t dont elle donne immédiatement

ALGÈBRE éLÉMENTAIRE. 287

la valeur. En susbtiluaiU cctle valeur de /'dans l’équation précédente qui contient les inconnues / et e, on détermine e. En substituant les deux valeursi obtenues dans l’équation qui précède l’avant-dernière et qui contient à la fois /, v et «, on détermine U. En continuant ainsi, on arrive à substituer dans la première équation les valeurs de /, v, u, z, y el à en déduire la valeur de la dernière inconnue x. On voit qu’il y a toujours en général un système de valeurs admissibles, mais qu’il est unique puisque la dernière équation à une inconnue ne donne qu’une seule valeur pour cette inconnue.

Nous allons appliquer cette solution générale à plusieurs exemples.

135 . Soient les trois équations à trois inconnues 3x — 2j-t- 6 a = 3,06,

Nous emploierons la méthode d’élimination par addition ou soustraction, et le plus simple sera d’éliminer-^- entre la seconde équation et chacune des deux autres.

Pour cela, je multiplierai d’abord les deux membres de la seconde équation par 2, et j’ajouterai l’équation obtenue membre à membre avec la première équation du système proposé. 11 viendra évidemment

J’ajouterai ensuite membre à membre la seconde et la troisième équation du système donné, et j’aurai

lax -+- 2z = 4 j 45 -

Les équations

formeront un sy stème équivalent à celui qu’on veut résoudre. La première équation me permettra de déterminer 7-, quand j’aurai trouvé x et z au moyen des deux autres. J’éliminerai z entre ces deux dernières équations en les retranchant membre à membre, et j’obtiendrai

Le sy stème

i 2 x-(- 2 z = 4 >45* #rz= 0,2.3,

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288 algèbue élémentaire.

est équivalent au système précédent et, par suite, au système donné. La dernière équation donne

l’avant-dernière donne

c’est-à-dire

Enfin, la première équation donne

S . OfUZ+jr — 2.0,845 = 0,81,

d’où

Les racines cherchées sont donc

or = 0 , 23 , j^=i, 35 , Z = 0,845.

Ces valeurs vérifient bien les équations proposées.