Soient les équations littérales

X — ajr + a'z = a^,

X — èj -t- 6*2 = h^,

X — cjr c''z = 6 ’\

Éliminons x entre la première équation et chacune des deux autres. Il viendra , en retranchant ces équations membre à membre,

— ay-i- by-h (a’ — b’} z = a? — 6’,

— ay cy -y [a' — c’) 2 = a’ — c*.

On peut écrire les équations obtenues comme il suit :

On remarque que les deux membres de la première sont divisibles par « — b et les deux membre de la seconde para — c(38). En supprimant ces deux facteurs communs, les deux équations prennent une forme plus simple et deviennent

[a -y b) Z — y = a’-h ab-\-b',

(a -1- c) 2 — y = a‘ -t- ac-|-c’.

Pour éliminer/ entre ces deux équations, nous les retrancherons membre à membre, et nous aurons

Le facteur b — c. est commun éiux deux membres. En le sup-

AI.GÈBHK ÉLÊMENTAtRl;.

priniinit, on trouve

Substituons celte valeur de j dans l’équaiiou

(« + b) Z — y = a} ab ->r h' .

Il viendra

[a -y b) (« -H 6 -t- f) — y^ y ab -y b\

On peut faire passer y dans le second niembre, le trinôme n' y ab-yb^ dans le premier, puis renverser l’ordre des deux membres. Nous aurons

>•= (rt + t) (rt+ A-l-c) — [(O-yab -y b^),

)•= (rt - 4 - b)' y (a y V — {cryab y b’].

Si l’on se rappelle la composition du carré d’une somme, il vient immédiatement

)• = ab y ac y bc.

Substituons les valeurs trouvées pour z et pour r dans l’éqtiation

r — ayya^z = aK

Nous aurons

X — a [ab + ac y bc] y a'‘ [a y b y c) a',

d’où

.r = abc.

Les trois racines cherchées sont donc

X = abc, y=abyacybc, z = ay b yc.

Ces racines vérifient les équations données qui se réduisent alors à